द्वितीय कोटि का अवकलज

व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन f(x) के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर f" (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि y = f, तो इसे कभी-कभी D2y या y2 या y" (x) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Let's say y = f. (x)

dy/dx = f' then (x)

यदि f'(x) अवकलनीय है, तो हम इसे 'x' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग d/dx(dy/dx) बन जाता है, जिसे अक्सर x के संबंध में y का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।

अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को f’(x) या dy/dx के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को f’’(x) या d²y/dx² के रूप में लिखा जा सकता है

Second-Order Derivative Examples

Question 1) If f(x) = sin3x cos4x, find  f’’(x). Hence, show that,  f’’(π/2) = 25.

Solution 1) We have,

f(x) =  sin3x cos4x or, f(x) =

. 2sin3x cos4x =

(sin7x-sinx)

Differentiating two times successively w.r.t. x we get,

f’(x) =

7x-cosx] =

And f’’(x) =

=

Therefore,f’’(π/2) =

=

                  =

x 50 = 25(Proved)

Question 2) If y =

(

), find y₂.

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न

हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, t के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर t के संबंध में x के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि x = x(t) और y = y(t), तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:

=

is the first derivative.

=

is the second derivative.

=

Note: The formula

=

  is completely incorrect.

स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है:

• फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि f"(x) < 0 है।
• फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि f"(x) > 0 है।
• यदि f"(x) = 0 है, तो बिंदु x के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।