वर्धमान और ह्रासमान फलन

बढ़ते और घटते फलन कैलकुलस में ऐसे फलन हैं जिनके लिए x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान क्रमशः बढ़ता और घटता है। बढ़ते और घटते फलनों के व्यवहार की जाँच करने के लिए फलन f(x) के व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है। यदि x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान बढ़ता है तो फलन को बढ़ता हुआ कहा जाता है और यदि x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान घटता है तो फलन को घटता हुआ कहा जाता है।

इस लेख में, हम बढ़ते और घटते फलनों की अवधारणा, उनके गुणों, ग्राफ़िकल निरूपण और बेहतर समझ के लिए उदाहरणों के साथ बढ़ते और घटते फलनों के परीक्षण के लिए प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।

बढ़ते और घटते फलन क्या हैं? बढ़ते और घटते फलन वे फलन हैं जिनके ग्राफ क्रमशः ऊपर और नीचे जाते हैं जैसे ही हम x-अक्ष के दाईं ओर बढ़ते हैं। बढ़ते और घटते फलनों को गैर-घटते और गैर-बढ़ते फलन भी कहा जाता है। आइए बढ़ते और घटते फलनों की औपचारिक परिभाषा को समझते हैं ताकि उनका अर्थ समझ सकें:

बढ़ते और घटते फ़ंक्शन परिभाषा

बढ़ते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) ≤ f(y) है।

घटते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर घटते हुए कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) ≥ f(y) है।

सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर सख्ती से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) < f(y) है।

सख्ती से घटते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर सख्ती से घटते हुए कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) > f(y) है।

बढ़ते और घटते कार्यों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

अब, जब हम बढ़ते और घटते कार्यों का अर्थ और परिभाषा जानते हैं, तो आइए बढ़ते और घटते कार्यों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व देखें जो हमें कार्यों के व्यवहार को समझने में मदद करेगा।

ऊपर दिए गए ग्राफ़ सख्ती से बढ़ते, सख्ती से घटते, बढ़ते और घटते फ़ंक्शन का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व दिखाते हैं। जैसा कि हम ऊपर दिए गए ग्राफ़ में देख सकते हैं, बढ़ते फ़ंक्शन में सख्ती से बढ़ते अंतराल और ऐसे अंतराल दोनों शामिल हैं जहाँ फ़ंक्शन स्थिर है। इसी तरह, घटते फ़ंक्शन में ऐसे अंतराल होते हैं जहाँ फ़ंक्शन सख्ती से घट रहा है और जहाँ फ़ंक्शन स्थिर है।

बढ़ते और घटते फ़ंक्शन की जाँच करने के नियम

हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि यह एक बढ़ता या घटता फ़ंक्शन है। मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन f(x) एक खुले अंतराल I पर अवकलनीय है, तो हमारे पास है

यदि I पर f'(x) ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन को I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन कहा जाता है।

यदि I पर f'(x) ≤ 0 है, तो फ़ंक्शन को I पर एक घटता फ़ंक्शन कहा जाता है।

उदाहरण: आइए अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित f(x) = x3 पर विचार करें। f(x) = x3 का व्युत्पन्न f'(x) = 3x2 द्वारा दिया गया है। हम जानते हैं कि किसी संख्या का वर्ग हमेशा 0 से बड़ा या बराबर होता है, इसलिए हमारे पास सभी x के लिए f'(x) = 3x2 ≥ 0 है। इसलिए f(x) = x3 एक बढ़ता फ़ंक्शन है।

बढ़ते और घटते कार्यों के गुण

• चूँकि हम जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन के बढ़ने या घटने की जाँच कैसे की जाती है, तो आइए बढ़ते और घटते कार्यों के बीजगणितीय गुणों को देखें:
• यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर बढ़ते फ़ंक्शन हैं, तो फ़ंक्शन f + g का योग भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर घटते फ़ंक्शन हैं, तो फ़ंक्शन f + g का योग भी इस अंतराल पर घट रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन है, तो विपरीत फ़ंक्शन -f इस अंतराल पर घट रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक घटता फ़ंक्शन है, तो विपरीत फ़ंक्शन -f इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन है, तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन 1/f इस अंतराल पर घट रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक घटता फ़ंक्शन है, तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन 1/f इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर बढ़ते फ़ंक्शन हैं और I पर f, g ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन fg का गुणनफल भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
• यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर घटते फ़ंक्शन हैं और I पर f, g ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन fg का गुणनफल भी इस अंतराल पर घट रहा है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न का उपयोग बढ़ते और घटते कार्यों की जाँच करने के लिए किया जाता है।
• बढ़ते और घटते कार्यों को गैर-घटते और गैर-बढ़ते फ़ंक्शन भी कहा जाता है।