कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन

समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।

कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।

समाकलन फलनों का प्रमाण

अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

फलन 1 का इंटीग्रल

$\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

जैसा कि आप जानते हैं,

$1/(y^{2}-a^{2})=1/(y-a)(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a(y+a)-(y-a)/(y-a)(y+a)$

इसे और कम करते हुए,

$=1/2a\ 1/(y-a)-1/(y+a)$

अतः, $\int dy/(y^{2}-a^{2})=1/2a\int dy/(y-a)-\int dy/(y+a)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)-\log \right\vert (y+a)+C$

अत:,

$=1/2a\log \left\vert (y-a)/(y+a)\right\vert +C$

फलन 2 का समाकलन

$\int dy/(a^{2}-y^{2})=1/2a\log \left\vert (a+y)/(a-y)\right\vert +C$

जैसा कि आप जानते हैं,

$1/(a^{2}-y^{2})=1/(a-y)(a+y)$

इसका समाधान करते हुए,

$=1/2a\ (a+y)+(a-y)/(a-y)(a+y)$

अत:,

$=1/2a\ 1/(a-y)+1/(a+y)$

इसलिए, $\int dy/(a^{2}-y^{2})=1/2a\int dy/(a-y)+\int dy/(a+y)$

जब आप हल करते हैं,

$=1/2a-\log \left\vert (a-y)+\log \right\vert (a+y)+C$

अत:,

$=1/2a\log \left\vert (a+y)/(a-y)\right\vert +C$

फलन 3 का इंटीग्रल

∫ dy / (y² + a²) = 1/a tan^–1 (y/a) + C

y = a tan t रखने पर, आपको dy = a sec2 t dt प्राप्त होगा।

इसलिए,

∫ dy / (y² + a²) = ∫ [(a sec² t dt) / (a² tan² t + a²)]

इसका समाधान करते हुए,

∫ dy / (y² + a²) = 1/a ∫ dt = t/a + C

t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

∫ dy / (y² + a²) = 1/a tan^–1 (y/a) + C

फलन 4 का इंटीग्रल

∫ dy / √ (y² – a²) = log |y + √ (y² – a²)| + C

प्रतिस्थापित y = a sec t

इसलिए, dy = a sec t tan t dt.

इसलिए,

∫ dy / √ (y² – a²) = ∫ a sec t tan t dt / √ (a² sec² t – a²)

इसका समाधान करते हुए,

∫ dy / √ (y² – a²) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C₁

t का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,

∫ dy / √ (y² – a²) = log |(y/a) + √ [(y² – a²) / a²]| + C₁

इसका समाधान करते हुए,

= log |y + √(y² – a²)| – log |a| + C₁

अत:,

= log |y + √(y² – a²)| + C

जहाँ, C = C₁ – log |a|

फलन 5 का इंटीग्रल

∫ dy / √ (a² – y²) = sin^–1 (y/a) + C

प्रतिस्थापन करने पर y = a sin t

dy = a cos t dt.

इसलिए,

∫ dy / √ (a² – y²) = ∫ a cos t dt / √ (a² – a² sin² t)

इसका समाधान करते हुए,

∫ dy / √ (a² – y²) = ∫ t dt = t + C

t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

∫ dy / √ (a² – y²) = sin^–1 (y/a) + C

फलन 6 का इंटीग्रल

∫ dy / √ (y² + a²) = log |y + √ (y² + a²)| + C

प्रतिस्थापन करने पर y = a tan t,

dy = a sec² t dt

इसलिए,

∫ dy / √ (y² + a²) = ∫ a sec² t dt / √ (a² tan² t + a²)

इसका समाधान करते हुए,

∫ dy / √ (y² – a²) = ∫ sec t dt = log |sec t + tan t| + C₁

t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

∫ dy / √ (y² – a²) = log |(y/a) + √ [(y² + a²) / a²]| + C₁

इसका समाधान करते हुए,

= log |y + √(y² + a²)| – log |a| + C₁

अत:,

= log |y + √(y² + a²)| + C

जहाँ, C = C₁ – log |a|

फलन 7 का इंटीग्रल

∫ dy / (ay² + by + c)

You can write this as

ay² + by + c = a [y² + (b/a)y + (c/a)]

इसका समाधान करते हुए,

a [(y + b/2a)² + (c/a – b²/4a²)]

प्रतिस्थापित करें (y + b/2a) = t और आपको dy = dt प्राप्त होगा ।

प्रतिस्थापन (c/a – b²/4a²) = ±k²।

इसलिए,

ay² + by + c = a (t² ± k²)

जहाँ + या – चिह्न समीकरण (c/a – b²/4a²) के चिह्न पर निर्भर करते हैं.

इसलिए,

∫ dy / (ay² + by + c) = 1/a ∫ dt / (t² ± k²)

आप ऊपर दिखाए गए siy एकीकरण सूत्रों में से एक या अधिक का उपयोग करके इस समीकरण का मूल्यांकन कर सकते हैं। याद रखें कि आप इसी तरह से समीकरण ∫ dy / √ (ay2 + by + c) को भी हल कर सकते हैं।

फलन 8 का इंटीग्रल

∫ [(py + q) / (ay² + by + c)] dy,

जहाँ p, q, a, b, c स्थिरांक माने जाते हैं।

इसे हल करने के लिए, आपको स्थिरांक A और B ज्ञात करने होंगे, जैसे कि,

(py + q) = A d/dy (ay² + by + c) + B,जो = A (2ay + b) + B बराबर है

‘A’ और ‘B’ निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, y के गुणांकों और स्थिर पदों के दोनों ओर से समान करें। तब ‘A’ और ‘B’ प्राप्त किए जा सकते हैं और इसलिए, समाकल को ज्ञात रूपों में से किसी एक में घटाया जा सकता है।

उदाहरण

y के सापेक्ष (y + 3) / √ (5 – 4y + y2) का समाकल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आप अभिव्यक्त कर सकते हैं

y + 3 = A d/dy (5 – 4y + y²) + B = A (– 4 – 2y) + B

गुणांकों को समान करने पर, आपको प्राप्त होता है

A = – ½ and B = 1

इसलिए,

∫ [(y + 3) / √ (5 – 4y + y²)] dy = – ½ ∫ [(– 4 – 2y) / √ (5 – 4y + y²)] dy + ∫ dy / √ (5 – 4y + y²)

= – ½ I₁ + I₂ … (a)

इसका समाधान करते हुए, I₁

प्रतिस्थापन (5 – 4y + y²) = t,

(– 4 – 2y) dy = dt

इसलिए,

I₁ = ∫ [(– 4 – 2y) / √ (5 – 4y + y²)] dy = ∫ dt / √ t = 2 √ t + C₁

= 2 √ (5 – 4y + y²) + C₁ … (b)

इसका समाधान करते हुए, I₂

I₂ = ∫ dy / √ (5 – 4y + y²) =

∫ dy / √ [9 – (y + 2)²]

प्रतिस्थापन करते हुए (y + 2) = t,

dy = dt

इसलिए,

I₂ = ∫ dt / √ (3² – t²) = sin^–1 (t/3) + C₂

इसका समाधान करते हुए,

= sin^–1 + C₂ … (c)

(a) के स्थान पर (b) और (c) प्रतिस्थापन करने पर ,

∫ [(y + 3) / √ (5 – 4y + y²)] dy = – ½ I₁ + I₂

= – √ (5 – 4y + y²) + sin^–1 + C

जहाँ C = C₂ = C₁/2.