कलन की आधारभूत प्रमेय
कलन का मूल सिद्धांत (FTC) हमें अवकलन और समाकलन के बीच संबंध बताता है। इस संबंध की खोज सर आइज़ैक न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ ने 1600 के दशक के अंत में की थी। FTC के दो भाग हैं: FTC 1 और FTC 2
हम इस तथ्य से अवगत हैं कि अवकलन और समाकलन एक दूसरे की विपरीत प्रक्रियाएँ हैं और पहला FTC इसे उचित ठहराता है। हम यह भी जानते हैं कि एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन पहले अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करके और फिर ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके किया जाता है, और यह प्रक्रिया दूसरे FTC द्वारा उचित ठहराई जाती है।
परिभाषा
कलन के मूलभूत सिद्धांत के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ कलन के मूलभूत सिद्धांतों के कथन दिए गए हैं।
कलन का मूलभूत प्रमेय सूत्र
कलन के मूलभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:
- भाग 1 (FTC 1) है
- भाग 2 (FTC 1) है जहाँ
आइए इन प्रमेयों में से प्रत्येक के बारे में उनके प्रमाणों के साथ विस्तार से जानें।
कलन का पहला मौलिक प्रमेय (भाग 1)
कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC भाग 1) एक समाकल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है और इसलिए यह व्युत्पन्न और समाकल के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस प्रमेय का उपयोग करके, हम वास्तव में निश्चित समाकल का मूल्यांकन किए बिना एक निश्चित समाकल के व्युत्पन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं। कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC 1) इस प्रकार बताया गया है।
"यदि f(x) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो [a, b] पर निरंतर है और (a, b) पर अवकलनीय है और यदि F(x) को F(x) = ∫ax f(t) dt के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो F'(x) = f(x) अंतराल [a, b] पर" (या)
"d/dx ∫ax f(t) dt = f(x)"
अब हम इस प्रमेय को सिद्ध करते हैं।
प्रमाण
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार,
F'(x) = limh → 0 [F(x+h)-F(x)] / h
यह दिया गया है कि F(x) = ∫ax f(t) dt. उपरोक्त समीकरण में इस परिभाषा का उपयोग करते हुए,
F'(x) = limh → 0 (1/h) [∫ax+h f(t) dt - ∫ax f(t) dt]
निश्चित समाकलों के गुण के अनुसार, ∫ab f(x) dx = - ∫ba f(x) dx. उपरोक्त समीकरण में इसका उपयोग करते हुए,
F'(x) = limh → 0 (1/h) [∫ax+h f(t) dt + ∫xa f(t) dt]
निश्चित समाकलों के एक अन्य गुण से, ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx. उपरोक्त समीकरण में इसका उपयोग करते हुए,
F'(x) = limh → 0 (1/h) ∫xx+h f(t) d t ... (1)
चूँकि f(x) [x, x + h] पर सतत है (ऐसा इसलिए है क्योंकि f(x) [a, b] पर सतत है और [x, x + h] [a, b] का उपअंतराल है), माध्य मान प्रमेय के अनुसार, अंतराल [x, x + h] में कम से कम एक बिंदु c मौजूद है, जैसे कि,
f(c) = (1/(x+h-x) ∫xx+h f(x) d x
(या) f(c) = (1/h) ∫xx+h f(x) d x
(माध्य मान प्रमेय को याद करते हुए: यदि f(x) [a, b] पर सतत है, तो [a, b] में कम से कम कुछ बिंदु c मौजूद है, जैसे कि f(c)=[1/(b-a)] ∫ab f(x) dx)
इसे (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
F'(x) = limh → 0 f(c) ... (2)
चूँकि f(x) [x, x + h] पर सतत है और चूँकि c भी इस अंतराल में मौजूद है, इसलिए निरंतरता की परिभाषा के अनुसार,
limh → 0 f(c) = f(x)
इसे (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
F'(x) = f(x)
इस प्रकार कलन का पहला मूलभूत प्रमेय सिद्ध होता है।
कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (भाग 2)
कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC भाग 2) कहता है कि किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल का मान फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज में ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके और परिणामों को क्रम से घटाकर प्राप्त किया जाता है। आमतौर पर, किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल की गणना करने के लिए, हम दिए गए अंतराल के भीतर स्थित उस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करेंगे और फिर हम ऐसे सभी आयतों के क्षेत्रों को जोड़ देंगे (इस प्रक्रिया को रीमैन समाकलन कहा जाता है)। यह प्रमेय रीमैन योग (या वक्रों के अंतर्गत क्षेत्र की गणना) का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में मदद करता है। कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC 2) इस प्रकार बताया गया है।
"यदि f(x) [a, b] पर एक सतत फलन है और यदि F(x) f(x) का कुछ प्रतिअवकलज है (अर्थात, F'(x) = f(x)) तो ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)"
आइए अब इस प्रमेय को सिद्ध करें।
प्रमाण
यह दिया गया है कि F(x) f(x) का प्रतिव्युत्पन्न है। अर्थात,
F'(x) = f(x) ... (1)
आइए एक नया फ़ंक्शन g(x) परिभाषित करें जैसे कि
g(x) = ∫ax f(t) dt.
फिर कलन के मौलिक प्रमेय (FTC 1) के पहले भाग के अनुसार, g'(x) = f(x) ... (2)
आइए हम एक और फ़ंक्शन h(x) परिभाषित करें जैसे कि
h(x) = g(x) - F(x), जहाँ x [a, b] में है
दोनों पक्षों पर अंतर करते हुए,
h'(x) = g'(x) - F'(x)
= f(x) - f(x) ((1) और (2) से)
= 0
हम जानते हैं कि h(x) [a, b] पर निरंतर है (क्योंकि g(x) और F(x) दोनों एक ही अंतराल पर निरंतर हैं) और उपरोक्त समीकरण h'(x) = 0 से। इस प्रकार, h(x) [a, b] पर एक स्थिर फ़ंक्शन है और इसलिए
h(b) = h(a)
h(x) की परिभाषा के अनुसार,
g(b) - F(b) = g(a) - F(a)
g(x) की परिभाषा के अनुसार,
∫ab f(t) dt - F(b) = ∫aa f(t) dt - F(a)
निश्चित समाकलों के गुणधर्म के अनुसार, ∫aa f(t) dt = 0. इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण बन जाता है
∫ab f(t) dt - F(b) = - F(a)
(या) ∫ab f(t) dt = F(b) - F(a)
इस प्रकार समाकलन कलन का दूसरा मूल सिद्धांत सिद्ध होता है।
कलन के मूलभूत सिद्धांत के अनुप्रयोग
- कलन का मूलभूत सिद्धांत व्युत्पन्न और समाकल के बीच एक बहुत मजबूत संबंध देता है।
- रीमैन योग का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में यह सहायक है।
- इसका उपयोग आसानी से एक वक्र के नीचे का क्षेत्र खोजने के लिए किया जाता है।
- इसका उपयोग किसी समाकल का व्युत्पन्न खोजने के लिए किया जाता है।
कलन के मूलभूत सिद्धांत पर महत्वपूर्ण नोट्स:
- FTC 1 का उपयोग करते हुए, d/dx ∫ax f(t) dt = f(x), जहाँ 'a' एक स्थिरांक है।
- FTC 2 का उपयोग करते हुए, समाकल ∫ab f(t) dt का मूल्यांकन करने के लिए, हम सबसे पहले अनिश्चित समाकल ∫ f(t) dt = F(t) का मूल्यांकन करेंगे, ऊपरी सीमा और निचली सीमा को प्रतिस्थापित करेंगे, और फिर उन्हें घटाएँगे। यानी, ∫ab f(t) dt = F(b) - F(a)।
- FTC 1 का उपयोग समाकल का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए किया जाता है जबकि FTC 2 का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।
- यदि ∫ f(t) dt = F(t), तो ∫ab f(t) dt = F(t)|ab = F(b) - F(a) है।
