दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण

अवकल समीकरण कलन का एक महत्वपूर्ण भाग हैं। इन समीकरणों का हल साधारणतः $f(x,y,c_{1},c_{2},...,c_{n})=0$ के रूप में होता है, जहाँ $x$ और $y$ चर को दर्शाते हैं और $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ मनमाने स्थिरांक हैं। अवकल समीकरण बनाने की प्रक्रिया को समझने के लिए, हमने नीचे उदाहरणों की एक श्रृंखला प्रदान की है। इसके अलावा, आपको समस्या-हल प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए अवकल समीकरण सूत्र उपयोगी लग सकते हैं।

व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण

हल से अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

चरण 1: समीकरण में उपस्थित स्वतंत्र चर के संबंध में दिए गए फलन को अवकलित करें।

चरण 2: तब तक अवकलन जारी रखें जब तक आपको $(n+1)$ समीकरण प्राप्त न हो जाए।

चरण 3: स्थिरांक $(c_{1},c_{2},...,c_{n})$ को समाप्त करने के लिए $(n+1)$ समीकरणों का उपयोग करें।

अवकल समीकरणों को हल करना

अवकल समीकरण का अवकल हल $x$ और $y$ के बीच का संबंध है, जिसे समीकरण को एकीकृत करके और समीकरण के कोटी को इंगित करने के लिए मनमाने स्थिरांक को उपस्थित करके प्राप्त किया जाता है। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण के हल में एक मनमाना स्थिरांक होता है, जबकि दूसरे कोटी के समीकरण में दो होते हैं। अवकल समीकरणों का व्यापक हल प्राप्त करने के लिए इन स्थिरांकों को विशिष्ट मान दिए जा सकते हैं। प्रथम-क्रम, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कई मानक विधियाँ उपलब्ध हैं, जैसे:

• चर पृथक्करण विधि
• चर पृथक्करण विधि में अपचयित
• सजातीय अवकल समीकरण
• अजातीय अवकल समीकरण
• रैखिक अवकल समीकरण
• रैखिक अवकल समीकरण में अपचयित
• सटीक अवकल समीकरण
• स्थिर गुणांक वाले रैखिक अवकल समीकरण

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• जब अवकल समीकरण की कोटी पता लगाना हो, तो पूरे समीकरण में उपयोग किए गए अवकलनों के उच्चतम कोटी को ध्यान में रखना चाहिए।
• जब एक व्यापक हल दिया जाता है, तो अवकल समीकरण बनाने के लिए, हमें समीकरण में उपयोग किए गए मनमाने स्थिरांकों की संख्या को ध्यान से देखना होगा और मनमाने स्थिरांकों की संख्या का पता लगाना अत्यंत महत्वपूर्ण है।
• अवकल समीकरणों के इस विषय को तैयार करते समय, किसी को सभी समीकरणों के साथ-साथ परवलय, अतिपरवलय, वृत्त, दीर्घवृत्त आदि जैसे वक्रों की ज्यामिति से पूरी तरह परिचित होना चाहिए।
• इन प्रश्नों के पहले चरण सबसे महत्वपूर्ण हैं क्योंकि यदि आप मनमाने स्थिरांकों की संख्या गलत गणना करते हैं और समीकरण को वास्तव में आवश्यक से अधिक/कम विभेदित करते हैं, तो आपका पूरा प्रश्न गलत हो जाता है।
• अवकल करते समय, आँख मूंदकर प्रश्न का विभेदन करना प्रारंभ न करें, बल्कि समीकरण के तत्वों को बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर से दाएँ हाथ की ओर या इसके विपरीत ले जाकर समीकरण को सदैव स्थापित करें। समय बचाने और गणना को आसान बनाने के लिए यह स्थापित करना करना निस्संदेह आवश्यक है।