दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण

अवकल समीकरण कलन का एक महत्वपूर्ण भाग हैं। इन समीकरणों का हल साधारणतः $f(x,y,c_{1},c_{2},...,c_{n})=0$ के रूप में होता है, जहाँ $x$ और $y$ चर को दर्शाते हैं और $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ मनमाने स्थिरांक हैं। अवकल समीकरण बनाने की प्रक्रिया को समझने के लिए, हमने नीचे उदाहरणों की एक श्रृंखला प्रदान की है। इसके अलावा, आपको समस्या-हल प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए अवकल समीकरण सूत्र उपयोगी लग सकते हैं।

व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण

हल से अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

चरण 1: समीकरण में उपस्थित स्वतंत्र चर के संबंध में दिए गए फलन को अवकलित करें।

चरण 2: तब तक अवकलन जारी रखें जब तक आपको $(n+1)$ समीकरण प्राप्त न हो जाए।

चरण 3: स्थिरांक $(c_{1},c_{2},...,c_{n})$ को समाप्त करने के लिए $(n+1)$ समीकरणों का उपयोग करें।

अवकल समीकरणों का निर्माण

अवकल समीकरणों को वास्तविक जीवन के परिदृश्यों से प्रतिमान किया जाता है।

• न्यूटन के दूसरे नियम को अवकल समीकरण $m{d^{2}h \over dh^{2}}=f(t,h(t),{dh \over dt}),$ द्वारा वर्णित किया जाता है, जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है, $h$ ज़मीनी स्तर से ऊँचाई है। यह समय के फलन के रूप में अज्ञात ऊँचाई का द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण है।
• जैसे-जैसे समय बढ़ता है, जनसंख्या बढ़ती है। यदि $r>0$ वृद्धि दर है, तो जनसंख्या को प्रतिमान करने वाला अवकल समीकरण dN/dt = rN के रूप में दिया गया है।
• जिस दर से बीमारी फैलती है वह संक्रमित लोगों और गैर-संक्रमित लोगों के गुणनफल के समानुपाती होती है। इसे $dN/DT=kN(T-N)$ के रूप में प्रतिमान किया जाता है, जहाँ ${\ce {T}}$ निश्चित जनसंख्या है और $N$ बीमारी से प्रभावित लोगों की संख्या है।
• किसी निश्चित पदार्थ के लिए, तापमान ${\ce {T}}$ के सापेक्ष वाष्प दाब $P$ के परिवर्तन की दर वाष्प दाब के समानुपाती तथा तापमान $dP/dt=kP/T^{2}$के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

अवकल समीकरणों का हल

अवकल समीकरण के अनंत हल होते हैं। अवकल समीकरण को हल करने को अवकल समीकरण का समाकलन कहा जाता है क्योंकि अवकल समीकरण का हल ज्ञात करने की प्रक्रिया में समाकलन उपस्थित होता है। अवकल समीकरण का हल आश्रित चर के लिए स्वतंत्र चर के पदों में एक व्यंजक होता है जो अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

वह हल जिसमें उतने ही मनमाने स्थिरांक होते हैं, उसे सामान्य हल कहते हैं। यदि हम अवकल समीकरण के सामान्य हल में मनमाने स्थिरांकों को विशेष मान देते हैं, तो परिणामी हल को विशेष हल कहते हैं। एक मनमाने स्थिरांक को हटाने का परिणाम प्रथम-क्रम अवकल समीकरण प्राप्त करता है और दो मनमाने स्थिरांक को हटाने का परिणाम द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण प्राप्त करता है और इसी तरह आगे भी।

आइए एक उदाहरण द्वारा अवकल समीकरण को हल करना समझते हैं।

$(dy/dx)=x^{2}y+y$

चरण 1: उपरोक्त अवकल समीकरण को $y$ से विभाजित करें। (हम चर को अलग करते हैं)

$(1/y)(dy/dx)=(x^{2}+1)$

हम $y$ और $x$ दोनों को चर मानते हैं और इसे इस प्रकार लिखते हैं

$(dy/y)=(x^{2}+1)dx$

चरण 2: अब $y$ के सापेक्ष और $x$ के सापेक्ष L.H.S. को समाकलित करें।

$\int (1/y)dx=\int (x^{2}+1)dx$

चरण 3: समाकलन के बाद, हमें मिलता है:

$log\ y=(x^{3}/3)+x+c$

तो, इस प्रकार अवकल समीकरण हल किया जाता है।

अवकल समीकरणों के विविध हल

अवकल समीकरण का अवकल हल $x$ और $y$ के बीच का संबंध है, जिसे समीकरण को एकीकृत करके और समीकरण के कोटी को इंगित करने के लिए मनमाने स्थिरांक को उपस्थित करके प्राप्त किया जाता है। प्रथम-कोटी अवकल समीकरण के हल में एक मनमाना स्थिरांक होता है, जबकि दूसरे कोटी के समीकरण में दो होते हैं। अवकल समीकरणों का व्यापक हल प्राप्त करने के लिए इन स्थिरांकों को विशिष्ट मान दिए जा सकते हैं। प्रथम-कोटी , प्रथम-डिग्री(घात) अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कई मानक विधियाँ उपलब्ध हैं, जैसे:

• चर पृथक्करण विधि
• चर पृथक्करण विधि में अपचयित
• सजातीय अवकल समीकरण
• अजातीय अवकल समीकरण
• रैखिक अवकल समीकरण
• रैखिक अवकल समीकरण में अपचयित
• सटीक अवकल समीकरण
• स्थिर गुणांक वाले रैखिक अवकल समीकरण

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• जब अवकल समीकरण की कोटी पता लगाना हो, तो पूरे समीकरण में उपयोग किए गए अवकलनों के उच्चतम कोटी को ध्यान में रखना चाहिए।
• जब एक व्यापक हल दिया जाता है, तो अवकल समीकरण बनाने के लिए, हमें समीकरण में उपयोग किए गए मनमाने स्थिरांकों की संख्या को ध्यान से देखना होगा और मनमाने स्थिरांकों की संख्या का पता लगाना अत्यंत महत्वपूर्ण है।
• अवकल समीकरणों के इस विषय को तैयार करते समय, किसी को सभी समीकरणों के साथ-साथ परवलय, अतिपरवलय, वृत्त, दीर्घवृत्त आदि जैसे वक्रों की ज्यामिति से पूरी तरह परिचित होना चाहिए।
• इन प्रश्नों के पहले चरण सबसे महत्वपूर्ण हैं क्योंकि यदि आप मनमाने स्थिरांकों की संख्या गलत गणना करते हैं और समीकरण को वास्तव में आवश्यक से अधिक/कम विभेदित करते हैं, तो आपका पूरा प्रश्न गलत हो जाता है।
• अवकल करते समय, आँख मूंदकर प्रश्न का विभेदन करना प्रारंभ न करें, बल्कि समीकरण के तत्वों को बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर से दाएँ हाथ की ओर या इसके विपरीत ले जाकर समीकरण को सदैव स्थापित करें। समय बचाने और गणना को आसान बनाने के लिए यह स्थापित करना करना निस्संदेह आवश्यक है।