बेज-प्रमेय

बेज- प्रमेय, प्रायिकता और सांख्यिकी में एक प्रमेय है, जिसका नाम रेवरेंड थॉमस बेज- के नाम पर रखा गया है, जो किसी घटना की प्रायिकता निर्धारित करने में सहायता करता है जो पहले से घटित किसी घटना पर आधारित होती है। बेज- नियम के कई अनुप्रयोग हैं जैसे कि स्वास्थ्य सेवा क्षेत्र में बेयसियन हस्तक्षेप - उम्र बढ़ने के साथ स्वास्थ्य समस्याओं के विकसित होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए और कई अन्य।

बेज- प्रमेय $P(A|B)$ ज्ञात करने पर आधारित है जब $P(B|A)$ दिया गया हो। यहाँ, हम उदाहरणों की सहायता से घटनाओं की संभावना, उसके कथन, सूत्र और व्युत्पत्ति को निर्धारित करने में बेज- नियम के उपयोग को समझने का लक्ष्य रखेंगे।

परिभाषा

बेज- प्रमेय, सरल शब्दों में, घटना $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता निर्धारित करता है, बशर्ते कि घटना $B$ पहले ही निम्नलिखित के आधार पर घटित हो चुकी हो:

• $A$ दिए जाने पर $B$ की संभावना
• $A$ की संभावना
• $B$ की संभावना

बेज- नियम, पिछली घटनाओं के घटित होने के आधार पर किसी घटना की प्रायिकता निर्धारित करने की एक विधि है। इसका उपयोग सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना करने के लिए किया जाता है। बेज- प्रमेय परिकल्पना के आधार पर प्रायिकता की गणना करता है। अब, आइए बेज- प्रमेय को बताएं और सिद्ध करें। बेज- नियम बताता है कि किसी घटना $A$ की सप्रतिबंध संभावना, किसी अन्य घटना $B$ के घटित होने पर, $B$ की संभावना, $A$ दिए जाने पर और $A$ की प्रायिकता को $B$ की प्रायिकता से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर होती है। इसे इस प्रकार दिया गया है:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

यहाँ, $P(A)=A$ के घटित होने की कितनी प्रायिकता है (पूर्व ज्ञान) - किसी भी साक्ष्य के मौजूद होने से पहले परिकल्पना के सत्य होने की संभावना।

$P(B)=B$ के घटित होने की कितनी प्रायिकता है (सीमांतकरण) - साक्ष्य को देखने की संभावना।

$P(A|B)=A$ के घटित होने की कितनी प्रायिकता है, बशर्ते कि $B$ घटित हो चुका हो (पश्चात्) - साक्ष्य को देखते हुए परिकल्पना के सत्य होने की संभावना।

$P(B|A)=B$ के घटित होने की कितनी प्रायिकता है, बशर्ते कि $A$ घटित हो चुका हो (संभावना) - परिकल्पना के सत्य होने पर साक्ष्य को देखने की संभावना।

बेज- प्रमेय - कथन

बेज- प्रमेय का कथन इस प्रकार है: मान लें कि $E_{1},E_{2},E_{3},...,E_{n}$ एक नमूना स्थान $S$ से जुड़ी घटनाओं का एक समूह है, जहाँ सभी घटनाओं $E_{1},E_{2},E_{3},...,E_{n}$ की घटना की गैर-शून्य प्रायिकता है और वे $S$ का एक विभाजन बनाते हैं। मान लें कि $A$ कोई भी घटना है जो

$E_{1}$या $E_{2}$ या $E_{3}...$ या $E_{n}$ के साथ होती है, तो बेज- प्रमेय के अनुसार,

$P(E_{i}|A)={\frac {P(E_{i})P(A|E_{i})}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}\displaystyle P(E_{k})P(A|E_{k})}},i=1,2,3,...,n$

• यहाँ $E_{i}\cap E_{j}=\phi$ जहाँ $i\neq j$(यानी) वे परस्पर संपूर्ण घटनाएँ हैं
• विभाजन की सभी घटनाओं के मिलन से नमूना स्थान प्राप्त होना चाहिए।
• $0\leq P(E_{i})\leq 1$

बेज- प्रमेय सूत्र

बेज- सूत्र घटनाओं और यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है। बेज- प्रमेय सूत्र सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा से प्राप्त होते हैं। इसे घटनाओं $A$ और $B$ के साथ-साथ निरंतर यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ के लिए भी प्राप्त किया जा सकता है। आइए सबसे पहले घटनाओं के लिए सूत्र देखें।

घटनाओं के लिए बेज- प्रमेय सूत्र

सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा से प्राप्त घटनाओं के लिए सूत्र है:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}},P(B)\neq 0$

व्युत्पत्ति

सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार, $P(A|B)=P(A\cap B)P(B),P(B)\neq 0$ और हम जानते हैं कि $P(A\cap B)=P(B\cap A)=P(B|A)P(A),$ जिसका तात्पर्य है,

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

इस प्रकार, घटनाओं के लिए बेज- प्रमेय का सूत्र व्युत्पन्न होता है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• बेज- प्रमेय का उपयोग सप्रतिबंध प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
• जब दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं, तो $P(A|B)=P(A)$ और $P(B|A)=P(B)$
• सतत यादृच्छिक चर के लिए बेज- प्रमेय का उपयोग करके सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना की जा सकती है।