लीलावती में 'साधारण ब्याज'

यहां हम जानेंगे कि लीलावती में बताए अनुसार साधारण ब्याज की गणना कैसे की जाती है।

श्लोक 97

प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च

स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः ॥९७॥

साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें। इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो उत्पादों a और b को अलग-अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।

टिप्पणी: A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज दर, Y = अवधि। P0 = मानक प्रिंसिपल (आमतौर पर 100)

Y0 = मानक अवधि (1 वर्ष या 1 माह)।

$P={\frac {A\ X\ P_{0}\ X\ Y_{0}}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

$I={\frac {A\ X\ R\ X\ Y}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

उदाहरण 1

पंचकेन शतेनाब्दे मूलं स्वं सकलान्तरम् ।

सहस्त्रं चेत्पृथक् तत्र वद मूल कलान्तरे ॥ XCVIII ॥

जब ब्याज दर 5% प्रति माह होती है, तो एक वर्ष के बाद की राशि 1000 N (निष्क) होती है। मूलधन और ब्याज ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: उपरोक्त छंद में 'प्रति माह' का उल्लेख नहीं है लेकिन ऐसा लगता है कि उस समय ब्याज की गणना मासिक आधार पर की जाती थी।

यहाँ A = 1000, R = 5, P0 = 100, Y0 = 1 महीना Y = 1 वर्ष (12 महीने)

$P={\frac {1000\ X\ 100\ X\ 1}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=625$

$I={\frac {1000\ X\ 5\ X\ 12}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=375$

वैकल्पिक रूप से I = A - P = 1000 - 625 = 375 N

श्लोक 99

अथ प्रमाणैर्गुणिताः स्वकाला व्यतीतकालघ्नफलोद्धृतास्ते ।

स्वयोगभक्ताश्च विमिश्रनिघ्नाः प्रयुक्तखण्डानि पृथक् भवन्ति ॥९९॥

यदि एक निश्चित मूलधन के कई हिस्सों पर अलग-अलग अवधियों के लिए अलग-अलग ब्याज दर होती है और फिर भी समान ब्याज मिलता है, तो इन भागों को ज्ञात करने के लिए - मानक मूलधन और मानक अवधि का गुणनफल लें, इस गुणनफल को संबंधित अवधियों के गुणनफल से विभाजित करें, और ब्याज की दरें, और इन भागफलों को अलग-अलग लिखें। इन भागफलों को दिए गए मूलधन से गुणा किया जाता है और अलग-अलग लिखे गए भागफलों के योग से विभाजित करके दिए गए मूलधन के वांछित भाग होते हैं।

टिप्पणी: भागों को निरूपित करने के लिए प्रत्यय के साथ पिछले उदाहरण के अंकन का उपयोग करना (हम तीन भागों पर विचार करते हैं):

$P_{1}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{2}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{3}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$

उदाहरण

यत्पंचकत्रिकचतुष्कशतेन दत्तं

खंडैस्त्रिभिर्गणक निष्कशतं षडूनम् ।

मासेषु सप्तदशपंचसु तुल्यमाप्तम्

खंडत्रयेऽपि हि फलं वद खंडसंख्याम् ॥ ॥

94 N (निष्क) को तीन भागों में विभाजित किया गया और 5 प्रतिशत (प्रति माह) पर 7 महीने के लिए, 3 प्रतिशत पर 10 महीने के लिए, 4 प्रतिशत पर उधार दिया गया

5 महीने। यदि तीनों भागों पर समान ब्याज मिलता है, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: यहाँ P1 + P2 + P3 = 94

R₁ = 5 Y₁ = 7

R₂ = 3 Y₂ = 10

R₃ = 4 Y₃ = 5

उपरोक्त सूत्र के अनुसार

$P_{1}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{5X7}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{\frac {4700}{420}}}=24$

$P_{2}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{3X10}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{\frac {4700}{420}}}=28$

$P_3=\frac{94X\frac{100}{4X5}}{\frac{100}{5X7}+\frac{100}{3X10}+\frac{100}{}}$