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गुणोत्तर श्रेढ़ी<ref>{{Cite web|url=https://byjus.com/maths/geometric-progression/|title=गुणोत्तर श्रेढ़ी}}</ref> वह श्रेढ़ी है , जिसमें प्रत्येक पद एक सार्व अनुपात द्वारा दूसरे से भिन्न होता है ।  श्रेढ़ी का अगला पद तब निर्मित होता है , जब हम किसी गैर-शून्य स्थिरांक को पिछले पद से गुणा करते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता हैं :

<math>a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,......ar^{n-1}</math> 

जहाँ ,

<math>a=</math>पहला पद है ।

<math>r=</math> सार्व अनुपात है ।

<math>ar^{n-1}=</math> <math>n</math>वाँ पद

=== उदाहरण ===

# <math>1,2,4,8,16,............</math>
# <math>3,9,27,81,............</math>

== गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुण ==
गुणोत्तर श्रेढ़ी के महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं :

# यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी  के प्रत्येक पद को गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा या विभाजित किया जाता है , तो परिणामी श्रेढ़ी भी समान सार्व अनुपात वाला एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है ।
# दो गुणोत्तर श्रेढ़ी का गुणनफल और भागफल  एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है ।
# यदि तीन गैर-शून्य पद <math>a, b, c</math>  गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं , तो <math>b^2=ac</math>  होता है ।
# एक गुणोत्तर श्रेढ़ी  में तीन लगातार पदों को  <math>\frac{a}{r}, a, ar</math>  के रूप में लिया जा सकता है ।

== गुणोत्तर श्रेढ़ी का सर्वनिष्ठ पद या nवाँ  पद ==
मान लीजिए कि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के लिए <math>a</math> पहला पद है और <math>r</math> सार्व अनुपात है ।

दूसरा पद <math>a_2 = a \times r = ar</math> 

तीसरा पद 

<math>a_3 = a_2 \times r </math> 

<math>a_3=ar\times r=ar^2</math>

इसी प्रकार, 

<math>n</math>वाँ पद <math>a_n = ar^{n-1}</math> 

गुणोत्तर श्रेढ़ी का सर्वनिष्ठ पद या  <math>n</math>वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र <math> ar^{n-1}</math> है ।

== गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ==
मान लीजिए <math>a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,......ar^{n-1}</math> दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है।

गुणोत्तर श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :

<math>S_n=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+...... +ar^{n-1}</math>

गुणोत्तर श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है :

जब , <math>r>1</math> है तो :

<math>S_n=a\left [ \frac{r^n-1}{r-1} \right ]</math>

जब , <math>r<1</math> है तो :

<math>S_n=a\left [ \frac{1-r^n}{1-r} \right ]</math>

जहाँ ,

<math>a=</math>पहला पद 

<math>r=</math> सार्व अनुपात

<math>n=</math>पदों की संख्या  है ।

यदि सार्व अनुपात <math>1</math> के बराबर है , तो गुणोत्तर श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :

<math>S_n=na</math>

जहाँ ,

<math>a=</math>पहला पद

<math>n=</math>पदों की संख्या  है ।

== उदाहरण 1 ==
यदि <math>2, 4, 8,..........</math> गुणोत्तर श्रेढ़ी है , तो इसका <math>10</math>वाँ पद ज्ञात कीजिए ।

हल

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी ,

<math>2, 4, 8,..........</math>

पहला पद <math>a=2</math> 

सार्व अनुपात <math>r=</math> दूसरा पद / पहला पद

<math>r=\frac {4}{2}</math>

<math>r=2</math>

<math>n</math>वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र <math> =ar^{n-1}</math>

<math>10</math>वाँ पद <math>=ar^{10-1}</math>       ( <math>n=10</math> )

मान रखने पर ,

<math>10</math>वाँ पद <math>=2\times2^{10-1}</math> 

<math>=2\times2^9</math>       

<math>=2\times512</math>    ( <math>2^9=512</math> )

<math>=1024</math>

अतः , दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी का <math>10</math>वाँ पद  <math>1024</math> होगा ।

== उदाहरण 2 ==
सूत्र का उपयोग करके गुणोत्तर श्रेढ़ी <math>10, 30, 90, 270 ,810</math> का योग ज्ञात करें । 

हल

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी ,

<math>10, 30, 90, 270 ,810</math>

पहला पद <math>a=10</math> 

सार्व अनुपात <math>r=</math> दूसरा पद / पहला पद

<math>r=\frac {30}{10}</math>

<math>r=3</math>  

पदों की संख्या <math>n=5</math>

क्योकि <math>r=3</math>  <math>(3>1)</math> है , तो गुणोत्तर श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र ,

<math>S_n=a\left [ \frac{r^n-1}{r-1} \right ]</math>

मान रखने पर ,

<math>S_n=</math><math>10\left [ \frac{3^5-1}{3-1} \right ]</math>

<math>S_n=</math><math>10\left [ \frac{243-1}{2} \right ]</math>        ( <math>3^5=243</math> )

<math>S_n=</math><math>10\left [ \frac{242}{2} \right ]</math> 

<math>S_n=</math><math>10\times 121</math> 

<math>S_n=</math><math> 1210</math> 

अतः , दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी  <math>10, 30, 90, 270 ,810</math> का योग <math> 1210</math> है ।

== संदर्भ ==
[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]