View source for त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटीयाँ

त्रिभुजों की सर्वांगसमता में कहा गया है कि दो त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि वे एक-दूसरे की प्रतिलिपियाँ हों और जब एक दूसरे पर अध्यारोपित हों, तो वे एक-दूसरे को बिल्कुल समाविष्ट करती हैं। अन्य शब्दों में, यदि  त्रिभुज की भुजाएँ और कोण दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और कोणों के समान हों तो दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। 

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मानदंड नीचे समझाये गये हैं।

'''अभिगृहीत 1''' SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और सम्मिलित कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और सम्मिलित कोण के समान हों।

'''प्रमाण:'''[[File:Triangle -2.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|चित्र-1]]
दिए गए चित्र में <math>OA=OB</math> और <math>OD=OC</math>.

यह बताओ की 

(i) <math>\triangle AOD \cong \triangle BOC</math> और (ii) <math>AD \parallel BC</math>.

'''हल:'''

दिए गए आंकड़े: <math>AOD</math> और <math>BOC</math> त्रिभुज में.  <math>OA=OB</math> और <math>OD=OC</math> 

<math>\angle AOD = \angle BOC</math>  (शीर्षाभिमुख कोण)

अत: <math>\triangle AOD \cong \triangle BOC</math> (SAS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करना)

(ii) सर्वांगसम त्रिभुजों <math>AOD</math> और <math>BOC</math> में, त्रिभुज की भुजाओं के संगत भाग भी समान होते हैं।

अत: <math>\angle OAD = \angle OBC</math> और ये स्थितियाँ रेखाखंडों  <math>AD</math> और  <math>BC</math> के लिए वैकल्पिक कोणों की एक जोड़ी बनाती हैं।

इसलिए भुजाएँ <math>AD \parallel BC</math>।

अतः सिद्ध हुआ। प्रमेय 1 (ASA सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित भुजा अन्य त्रिभुजों के दो कोणों और सम्मिलित भुजा के समान हों।

'''प्रमेय 1''' ASA (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और सम्मिलित भुजा के समान हों।

'''प्रमाण:'''
[[File:Triangle -3.jpg|alt=Fig. 2|thumb|200x200px|चित्र-2]]
दिए गए दो त्रिभुजों  <math>ABC</math> और <math>DEF</math> में से, जिसमें:

<math>\angle ABC = \angle DEF</math> और <math>\angle ACB = \angle DFE</math> और <math>BC=EF</math>

यह सिद्ध करने के लिए  <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित तीन स्थितियाँ सम्मिलित हैं

'''स्थिति (i):''' मान लें <math>AB=DE</math>

यहाँ  <math>AB=DE</math> (मान लिया गया)

दिया हुआ <math>\angle ABC = \angle DEF</math> और <math>BC=EF</math>

तो, SAS नियम से हमें प्राप्त होता है, <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>



'''स्थिति (ii):''' मान लीजिए की भुजा <math>AB>DE</math>।अब <math>AB</math> पर एक बिंदु <math>P</math> इस प्रकार लीजिए कि वह <math>PB=DE</math> बन जाए[[File:Triangle - 4.jpg|alt=Fig - 3|thumb|चित्र-3]]

अब त्रिभुजों <math>PBC</math> और <math>DEF</math> पर विचार करें 

संरचना से, <math>PB=DE</math>

दिया हुआ <math>\angle ABC = \angle DEF</math>

<math>BC=EF</math>

इसलिए, SAS सर्वांगसमता स्वयंसिद्ध से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\triangle PBC \cong \triangle DEF</math>

चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, अतः त्रिभुजों के संगत भाग भी समान हैं।

इसलिए, <math>\angle PCB = \angle DFE</math>

लेकिन, हमें वह उपलब्ध कराया गया है

<math>\angle ACB = \angle DFE</math>

तो, हम कह सकते हैं <math>\angle ACB = \angle PCB</math>

क्या ऐसा प्रतिबंध संभव है? 

यह प्रतिबंध/स्थिति तभी संभव है जब <math>P</math> 𝐴 के अनुरूप होता है या जब <math>BA = ED</math>

इसलिए, <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math> (SAS अभिगृहीत से)

'''स्थिति (iii):''' If <math>AB<DE</math>, हम <math>DE</math> पर एक बिंदु <math>M</math> इस तरह ले सकते हैं कि यह  <math>ME=AB</math> बन जाए और

स्थिति (ii) में दिए गए तर्कों को दोहराते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math>AB=DE</math> और इसलिए हमें मिलता है <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math>

AAS (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि कोणों के कोई दो युग्म और संगत भुजाओं का एक जोड़ा समान हो।

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[[Category:कक्षा-9]]