View source for प्रतिस्थापन विधि

[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
[[Category:Vidyalaya Completed]]
दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल विधियों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है । 

== प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण ==
प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT) |edition=Revised |pages=30-33}}</ref> निम्नलिखित है ;

=== चरण 1 ===
दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए <math>y</math> ) का मान दूसरे चर  ( मान लीजिए <math>x</math> ) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।

=== चरण 2 ===
चरण <math>1</math> में हमें जो <math>y</math> का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण <math>x</math> के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।

=== चरण 3 ===
चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।

=== चरण 4 ===
चरण <math>3</math> में प्राप्त <math>x</math>  के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर <math>y</math> का मान प्राप्त हो जाए ।

इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।

== उदाहरण 1 ==
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

<math>7x-15y=2</math> 

<math>x+2y=3</math> 

हल

दी गई  समीकरण ,

<math>7x-15y=2</math> <math>....................(1)</math>

<math>x+2y=3</math> <math>......................(2)</math>

समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>x+2y=3</math>

<math>x=3-2y</math> <math>....................(3)</math>

समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>7x-15y=2</math>

<math>7(3-2y)-15y=2</math>               ( समीकरण  <math>(3)</math> से <math>x=3-2y</math> )

<math>21-14y-15y=2</math>

<math>21-29y=2</math>

<math>21-2=29y</math>

<math>19=29y</math>

<math>y=\frac{19}{29}</math>

<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण  <math>(3)</math> में रखने पर ,

<math>x=3-2y</math>

<math>x=3-2\left ( \frac{19}{29} \right )</math> 

<math>x=3-\frac{38}{29}</math>

<math>x=\frac{87-38}{29}</math> 

<math>x=\frac{49}{29}</math>

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल <math>x=\frac{49}{29}</math> , <math>y=\frac{19}{29}</math>  है ।

== उदाहरण 2 ==
<math>2</math> टॉफ़ी और <math>3</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>9</math> है और <math>4</math> टॉफ़ी और <math>6</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>18</math> है । प्रत्येक टॉफ़ी और पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि प्रत्येक टॉफी की कीमत <math>x</math> है और प्रत्येक पेंसिल की कीमत <math>y</math> है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,

<math>2x+3y=9</math> <math>....................(1)</math>

<math>4x+6y=18</math> <math>......................(2)</math>

समीकरण <math>(1)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>2x+3y=9</math>

<math>2x=9-3y</math> 

<math>x=\frac{9-3y}{2}</math><math>....................(3)</math>

समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(2)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>4x+6y=18</math>

<math>4\left ( \frac{9-3y}{2} \right )+6y=18</math> 

<math>\left ( \frac{36-12y}{2} \right )+6y=18</math>

<math>\left ( \frac{36-12y+12y}{2} \right )=18</math>

<math>\left ( \frac{36}{2} \right )=18</math>

<math>18=18</math> यह कथन <math>y</math> के सभी मानों के लिए सत्य है । 

अतः , हमें <math>y</math> का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम <math>x</math> का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण <math>(1)</math> और <math>(2)</math> के अनंत रूप से कई  हल होगे ।

== उदाहरण 3 ==
दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि दो संख्याएँ <math>x</math> और <math>y</math>  हैं  ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है ,

<math>x-y=26</math> <math>............(1)</math>

प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,

<math>x=3y</math> 

<math>x-3y=0</math> <math>............(2)</math>

समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>x-3y=0</math>

<math>x=3y</math> <math>....................(3)</math>

समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>x-y=26</math>

<math>3y-y=26</math>    ( समीकरण  <math>(3)</math> से <math>x=3y</math>  )

<math>2y=26</math>

<math>y=\frac{26}{2}</math>

<math>y=13</math>

<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण  <math>(3)</math> में रखने पर ,

<math>x=3y</math>

<math>x=3\times 13</math>

<math>x=39</math>

अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं  <math>13,39</math> हैं ।

== अभ्यास प्रश्न ==

# प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : <math>0.2x+0.3y=1.3</math>   ,   <math>0.4x+0.5y=2.3</math>

== संदर्भ ==