दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल विधियों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है ।
प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण
प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण[1] निम्नलिखित है ;
चरण 1
दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए
) का मान दूसरे चर ( मान लीजिए
) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।
चरण 2
चरण
में हमें जो
का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण
के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।
चरण 3
चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।
चरण 4
चरण
में प्राप्त
के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर
का मान प्राप्त हो जाए ।
इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।
उदाहरण 1
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :
हल
दी गई समीकरण ,
समीकरण
से
का मान
के रूप में ज्ञात करने पर ,
समीकरण
में प्राप्त के
के मान को समीकरण
में रखकर हल करने पर ,
( समीकरण
से
)
के प्राप्त मान को समीकरण
में रखने पर ,
अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल
,
है ।
उदाहरण 2
टॉफ़ी और
पेंसिल का मूल्य ₹
है और
टॉफ़ी और
पेंसिल का मूल्य ₹
है । प्रत्येक टॉफ़ी और पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल
माना कि प्रत्येक टॉफी की कीमत
है और प्रत्येक पेंसिल की कीमत
है ,
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,
समीकरण
से
का मान
के रूप में ज्ञात करने पर ,

समीकरण
में प्राप्त के
के मान को समीकरण
में रखकर हल करने पर ,
यह कथन
के सभी मानों के लिए सत्य है ।
अतः , हमें
का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम
का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण
और
के अनंत रूप से कई हल होगे ।
उदाहरण 3
दो संख्याओं का अंतर
है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
हल
माना कि दो संख्याएँ
और
हैं ,
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर
है ,
प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,
समीकरण
से
का मान
के रूप में ज्ञात करने पर ,
समीकरण
में प्राप्त के
के मान को समीकरण
में रखकर हल करने पर ,
( समीकरण
से
)
के प्राप्त मान को समीकरण
में रखने पर ,
अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं
हैं ।
अभ्यास प्रश्न
- प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :
, 
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 30–33.