गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल

द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । आईए इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं । एक वास्तविक संख्या $\alpha$ को द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ का मूल कहा जाता है , यदि $\alpha ^{2}+b\alpha +c=0$ होता है। हम यह भी कहते हैं कि $x=\alpha$ द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ का मूल समान होता हैं । किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि

द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में  जानते हैं ;

1. दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में परिवर्तित करें ।
2. $x^{2}$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
3. मध्य पद के गुणांक को चरण $2$ में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
4. प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करें ।

इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$6x^{2}-x-2=0$

मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,

$6x^{2}+3x-4x-2=0$

$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$

$(3x-2)(2x+1)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(3x-2)=0$

$3x=2$

$x={\frac {2}{3}}$

$(2x+1)=0$

$2x=-1$

$x=-{\frac {1}{2}}$

अतः , द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x={\frac {2}{3}},-{\frac {1}{2}}$ हैं ।

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$x^{2}-3x-10=0$

मध्य पद गुणनखंड करने पर ,

$x^{2}-5x+2x-10=0$

$x(x-5)+2(x-5)=0$

$(x-5)(x+2)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(x-5)=0$

$x=5$

$(x+2)=0$

$x=-2$

अतः , द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल $x=5,-2$ हैं ।

उदाहरण 3

दो क्रमागत पूर्णांक ज्ञात कीजिए , जिनके वर्गों का योग $365$ है ।

हल

मान लीजिए , दो क्रमागत पूर्णांक $x,x+1$ है ।

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , पूर्णांक के वर्गों का योग $365$ है ।

$(x)^{2}+(x+1)^{2}=365$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{2}+[(x)^{2}+(1)^{2}+2\times 1\times x]=365$

$x^{2}+x^{2}+1+2x=365$

$2x^{2}+2x+1=365$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$2x^{2}+2x+1-365=0$

$2x^{2}+2x-364=0$

दोनों पक्षों में से भाग देने पर ,

$x^{2}+x-182=0$

मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,

$x^{2}+14x-13x-182=0$

$x(x+14)-13(x+14)=0$

$(x+14)(x-13)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(x+14)=0$

$x=-14$

$(x-13)=0$

$x=13$

अतः ,