गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल

द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या $\alpha$ को द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ का मूल कहा जाता है , यदि $\alpha ^{2}+b\alpha +c=0$ होता है। हम यह भी कहते हैं कि $x=\alpha$ द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि

द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में  जानते हैं ;

1. दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में परिवर्तित करें ।
2. $x^{2}$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
3. मध्य पद के गुणांक को चरण $2$ में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
4. प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करें ।

इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$6x^{2}-x-2=0$

हम मध्य पद $-x$ का गुणनखंड $+3x-4x$ रूप में करेंगे , क्योंकि $(3x)\times (-4x)=-12x^{2}=(-2)\times 6x^{2}$

$6x^{2}+3x-4x-2=0$

$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$

$(3x-2)(2x+1)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(3x-2)=0$

$3x=2$

$x={\frac {2}{3}}$

$(2x+1)=0$

$2x=-1$

$x=-{\frac {1}{2}}$

अतः , द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x={\frac {2}{3}},-{\frac {1}{2}}$ हैं ।

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण $3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$

हम मध्य पद $-2{\sqrt {6}}x$ का गुणनखंड $-{\sqrt {6}}x-{\sqrt {6}}x$ रूप में करेंगे , क्योंकि $(-{\sqrt {6}}x)\times (-{\sqrt {6}}x)=6x^{2}=2\times 3x^{2}$

$3x^{2}-{\sqrt {6}}x-{\sqrt {6}}x+2=0$

${\sqrt {3}}x({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

${\sqrt {3}}x={\sqrt {2}}$

$x={\sqrt {\frac {2}{3}}}$

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

${\sqrt {3}}x={\sqrt {2}}$

$x={\sqrt {\frac {2}{3}}}$

अतः , द्विघात समीकरण $3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$ के मूल $x={\sqrt {\frac {2}{3}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}}$ हैं ।

उदाहरण 3

दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल $483$ है ।

हल

मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं $x,x+2$ है ।

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है

$x(x+2)=483$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{2}+2x=483$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}+2x-483=0$

मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,

$x^{2}+23x-21x-483=0$

$x(x+23)-21(x+23)=0$

$(x+23)(x-21)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(x+23)=0$

$x=-23$ [ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]

$(x-21)=0$

$x=21$

अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं $21,23$ है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल $483$ है ।

अभ्यास प्रश्न

1. द्विघात समीकरण $2x^{2}-x+{\frac {1}{8}}=0$ के मूल ज्ञात करें ।
2. द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल ज्ञात करें ।
3. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग $365$ है ।