द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या
को द्विघात समीकरण[1]
,
का मूल कहा जाता है , यदि
होता है। हम यह भी कहते हैं कि
द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण
,
को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद
के शून्यक और द्विघात समीकरण
का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।
द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि
द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में जानते हैं ;
- दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप
में परिवर्तित करें ।
के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
- मध्य पद के गुणांक को चरण
में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
- प्रत्येक गुणनखंड को
के बराबर करें ।
इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।
उदाहरण 1
द्विघात समीकरण
के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद
का गुणनखंड
रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को
के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण
के मूल
हैं ।
उदाहरण 2
द्विघात समीकरण
के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद
का गुणनखंड
रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को
के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण
के मूल
हैं ।
उदाहरण 3
दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल
है ।
हल
मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं
है ।
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,
प्रत्येक गुणनखंड को
के बराबर करने पर ,
[ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]
अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं
है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल
है ।
अभ्यास प्रश्न
- द्विघात समीकरण
के मूल ज्ञात करें ।
- द्विघात समीकरण
के मूल ज्ञात करें ।
- दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग
है ।
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS(NCERT) (REVISED ed.). pp. 42–44.