मूलों की प्रकृति: Difference between revisions
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ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे । | |||
== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति == | |||
द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूल <ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT) |edition=Revised |pages=44-47}}</ref>निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ; | |||
<math>x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> | |||
यदि <math>{b^2-4ac}>0</math> , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल <math>-\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> और <math>-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> मिलते हैं । | |||
यदि <math>{b^2-4ac}=0</math> , हमें दो समान वास्तविक मूल <math>-\frac{b}{2a} </math> और <math>-\frac{b}{2a} </math> मिलते हैं । | |||
यदि <math>{b^2-4ac}<0</math> , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं । | |||
अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक <math>{b^2-4ac}</math> द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम <math>D=b^2-4ac</math> से निरूपित करते हैं । | |||
एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ; | |||
# दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि <math>{b^2-4ac}>0</math> | |||
# दो समान वास्तविक मूल ; यदि <math>{b^2-4ac}=0</math> | |||
# कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि <math>{b^2-4ac}<0</math> | |||
== उदाहरण 1 == | |||
द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए । | |||
हल | |||
दिए गए समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=-4, c=-3</math> प्राप्त होता है । | |||
विविक्तकर <math>D=b^2-4ac</math> का मान ज्ञात करने पर, | |||
<math>D=(-4)^2-4\times 2 \times (-3)</math> | |||
<math>D=16-(-24)</math> | |||
<math>D=16+24</math> | |||
<math>D=40</math> | |||
हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर <math>D=40</math> अर्थात <math>D>0</math> हैं । | |||
अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे । | |||
== उदाहरण 2 == | |||
<math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण <math>2x^2+kx+3=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं । | |||
हल | |||
दिए गए समीकरण <math>2x^2+kx+3=0</math> की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=k, c=3</math> प्राप्त होता है । | |||
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि <math>{b^2-4ac}=0</math> ; अर्थात <math>D=0</math> | |||
<math>{b^2-4ac}=0</math> मे रखने पर , | |||
<math>(k)^2-4\times2\times3=0</math> | |||
<math>k^2-24=0</math> | |||
<math>k^2=24</math> | |||
<math>k=\pm\sqrt{24}</math> | |||
<math>k= \pm 2\sqrt{6} | |||
</math> | |||
अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6} | |||
</math> होगा । | |||
== अभ्यास प्रश्न == | |||
# द्विघात समीकरण <math>3x^2-4\sqrt{3}x+4=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए । | |||
# <math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण <math>kx(x-1)+5=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं । | |||
== संदर्भ == |
Latest revision as of 13:21, 10 October 2023
ऐसा समीकरण , जिन्हें हम रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां वास्तविक संख्याएं हैं एवं , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।
द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति
द्विघात समीकरण के मूल [1]निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;
यदि , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल और मिलते हैं ।
यदि , हमें दो समान वास्तविक मूल और मिलते हैं ।
यदि , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।
अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम से निरूपित करते हैं ।
एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;
- दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि
- दो समान वास्तविक मूल ; यदि
- कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि
उदाहरण 1
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
हल
दिए गए समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप से करने पर , हमें प्राप्त होता है ।
विविक्तकर का मान ज्ञात करने पर,
हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर अर्थात हैं ।
अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।
उदाहरण 2
का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं ।
हल
दिए गए समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप से करने पर , हमें प्राप्त होता है ।
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि ; अर्थात
मे रखने पर ,
अतः , का मान होगा ।
अभ्यास प्रश्न
- द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
- का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं ।
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 44–47.