गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल: Difference between revisions
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द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS(NCERT) |edition=REVISED |pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं । | |||
== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि == | |||
द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में जानते हैं ; | |||
# दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> में परिवर्तित करें । | |||
# <math>x^2</math> के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें । | |||
# मध्य पद के गुणांक को चरण <math>2</math> में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें । | |||
# प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करें । | |||
इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं । | |||
== उदाहरण 1 == | |||
द्विघात समीकरण <math>6x^2-x-2=0</math> के मूल ज्ञात करें । | |||
हल | |||
<math>6x^2-x-2=0</math> | |||
हम मध्य पद <math>-x</math> का गुणनखंड <math>+3x-4x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(3x)\times(-4x) = -12x^2 = (-2)\times 6x^2</math> | |||
<math>6x^2+3x-4x-2=0</math> | |||
<math>3x(2x+1)-2(2x+1)=0</math> | |||
<math>(3x-2)(2x+1)=0</math> | |||
प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर , | |||
<math>(3x-2)=0</math> | |||
<math>3x=2</math> | |||
<math>x=\frac{2}{3}</math> | |||
<math>(2x+1)=0</math> | |||
<math>2x=-1</math> | |||
<math>x=-\frac{1}{2}</math> | |||
अतः , द्विघात समीकरण <math>6x^2-x-2=0</math> के मूल <math>x=\frac{2}{3} ,-\frac{1}{2}</math> हैं । | |||
== उदाहरण 2 == | |||
द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल ज्ञात करें । | |||
हल | |||
<math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> | |||
हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math> का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math> | |||
<math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math> | |||
<math>\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | |||
<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | |||
प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर , | |||
<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | |||
<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math> | |||
<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math> | |||
<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | |||
<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math> | |||
<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math> | |||
अतः , द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल <math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}</math> हैं । | |||
== उदाहरण 3 == | |||
दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल <math>483</math> है । | |||
हल | |||
मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं <math>x,x+2</math> है । | |||
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है | |||
<math>x(x+2)=483</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर , | |||
<math>x^2+2x=483</math> | |||
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर , | |||
<math>x^2+2x-483=0</math> | |||
मध्य पद का गुणनखंड करने पर , | |||
<math>x^2+23x-21x-483=0</math> | |||
<math>x(x+23)-21(x+23)=0</math> | |||
<math>(x+23)(x-21)=0</math> | |||
प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर , | |||
<math>(x+23)=0</math> | |||
<math>x=-23</math> [ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ] | |||
<math>(x-21)=0</math> | |||
<math>x=21</math> | |||
अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं <math>21,23</math> है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल <math>483</math> है । | |||
== अभ्यास प्रश्न == | |||
# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें । | |||
# द्विघात समीकरण <math>x^2-3x-10=0</math> के मूल ज्ञात करें । | |||
# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है । | |||
== संदर्भ == |
Latest revision as of 13:21, 10 October 2023
द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या को द्विघात समीकरण[1] , का मूल कहा जाता है , यदि होता है। हम यह भी कहते हैं कि द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण , को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद के शून्यक और द्विघात समीकरण का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।
द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि
द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में जानते हैं ;
- दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करें ।
- के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
- मध्य पद के गुणांक को चरण में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
- प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करें ।
इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।
उदाहरण 1
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद का गुणनखंड रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण के मूल हैं ।
उदाहरण 2
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद का गुणनखंड रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण के मूल हैं ।
उदाहरण 3
दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल है ।
हल
मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं है ।
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
[ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]
अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल है ।
अभ्यास प्रश्न
- द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
- द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
- दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग है ।
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS(NCERT) (REVISED ed.). pp. 42–44.