गुणोत्तर श्रेढ़ी: Difference between revisions

Revision as of 10:32, 11 October 2023

गुणोत्तर श्रेढ़ी वह श्रेढ़ी है , जिसमें प्रत्येक पद एक सामान्य अनुपात द्वारा दूसरे से भिन्न होता है । श्रेढ़ी का अगला पद तब निर्मित होता है , जब हम किसी गैर-शून्य स्थिरांक को पिछले पद से गुणा करते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता हैं :

$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},......ar^{n-1}$

जहाँ ,

$a=$ पहला पद है ।

$r=$ सामान्य अनुपात है ।

$ar^{n-1}=$ $n$ वाँ पद

उदाहरण

$1,2,4,8,16,............$
$3,9,27,81,............$

गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुण

गुणोत्तर श्रेढ़ी के महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं :

यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद को गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा या विभाजित किया जाता है , तो परिणामी श्रेढ़ी भी समान सामान्य अनुपात वाला एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होता है
दो गुणोत्तर श्रेढ़ी का गुणनफल और भागफल एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होता है
यदि तीन गैर-शून्य पद $a,b,c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं $b^{2}=ac$ होता है
एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में तीन लगातार पदों को ${\frac {a}{r}},a,ar$ के रूप में लिया जा सकता है

गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद या nवाँ पद

मान लीजिए कि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के लिए $a$ पहला पद है और $r$ सामान्य अनुपात है ।

दूसरा पद $a_{2}=a\times r=ar$

दूसरा पद $a_{3}=a_{2}\times r$

$a_{3}=ar\times r=ar^{2}$

इसी प्रकार,

$n$ वाँ पद $a_{n}=ar^{n-1}$

गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद या $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $ar^{n-1}$ है ।

गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग

मान लीजिए $a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},......ar^{n-1}$ दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है।

गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+......+ar^{n-1}$

गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है :

$S_{n}=a\left[{\frac {r^{n}-1}{r-1}}\right]$

जहाँ ,

$a=$ पहला पद

$r=$ सामान्य अनुपात

$n=$ पदों की संख्या है ।

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-Geometric Progression(G.P)
+गुणोत्तर श्रेढ़ी वह  श्रेढ़ी है , जिसमें प्रत्येक पद एक सामान्य अनुपात द्वारा दूसरे से भिन्न होता है ।  श्रेढ़ी का अगला पद तब निर्मित होता है , जब हम किसी गैर-शून्य स्थिरांक को पिछले पद से गुणा करते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता हैं :
+<math>a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,......ar^{n-1}</math>
+जहाँ ,
+<math>a=</math>पहला पद है ।
+<math>r=</math> सामान्य अनुपात है ।
+<math>ar^{n-1}=</math> <math>n</math>वाँ पद
+=== उदाहरण ===
+# <math>1,2,4,8,16,............</math>
+# <math>3,9,27,81,............</math>
+== गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुण ==
+गुणोत्तर श्रेढ़ी के महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं :
+# यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी  के प्रत्येक पद को गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा या विभाजित किया जाता है , तो परिणामी श्रेढ़ी भी समान सामान्य अनुपात वाला एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होता है
+# दो गुणोत्तर श्रेढ़ी का गुणनफल और भागफल  एक गुणोत्तर श्रेढ़ी  होता है
+# यदि तीन गैर-शून्य पद <math>a, b, c</math>  गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं <math>b^2=ac</math>  होता है
+# एक गुणोत्तर श्रेढ़ी  में तीन लगातार पदों को  <math>\frac{a}{r}, a, ar</math>  के रूप में लिया जा सकता है
+== गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद या nवाँ  पद ==
+मान लीजिए कि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के लिए <math>a</math> पहला पद है और <math>r</math> सामान्य अनुपात है ।
+दूसरा पद <math>a_2 = a \times r = ar</math>
+दूसरा पद <math>a_3 = a_2 \times r </math>
+<math>a_3=ar\times r=ar^2</math>
+इसी प्रकार,
+<math>n</math>वाँ पद <math>a_n = ar^{n-1}</math>
+गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद या  <math>n</math>वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र <math> ar^{n-1}</math> है ।
+== गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ==
+मान लीजिए <math>a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,......ar^{n-1}</math> दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है।
+गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :
+<math>S_n=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+...... +ar^{n-1}</math>
+गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है :
+<math>S_n=a\left [ \frac{r^n-1}{r-1} \right ]</math>
+जहाँ ,
+<math>a=</math>पहला पद
+<math>r=</math> सामान्य अनुपात
+<math>n=</math>पदों की संख्या  है ।
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 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]