कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

इस अनुभाग में, हम $0^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।

45° के त्रिकोणमितीय अनुपात

चित्र -1 त्रिभुज

$\bigtriangleup ABC$ में $B$ समकोण है, यदि $\angle A=45^{\circ }$, $\angle C=45^{\circ }$

$BC=AB=a$

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए

$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

$a^{2}+a^{2}=2a^{2}$

$AC=a{\sqrt {2}}$

$sin\ 45^{\circ }={\frac {side\ opposite\ to\ angle\ 45^{\circ }}{hypotenuse}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{a{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$cos\ 45^{\circ }={\frac {side\ adjacent\ to\ angle\ 45^{\circ }}{hypotenuse}}={\frac {AB}{AC}}={\frac {a}{a{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$tan\ 45^{\circ }={\frac {side\ opposite\ to\ angle\ 45^{\circ }}{side\ adjacent\ to\ angle\ 45^{\circ }}}={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{a}}=1$

$cosec\ 45^{\circ }={\frac {1}{sin\ 45^{\circ }}}={\sqrt {2}}$ , $sec\ 45^{\circ }={\frac {1}{cos\ 45^{\circ }}}={\sqrt {2}}$ , $cot\ 45^{\circ }={\frac {1}{tan\ 45^{\circ }}}=1$

30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात

चित्र -2 त्रिभुज

समबाहु $\bigtriangleup ABC$ पर विचार करें। समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण $60^{\circ }$ होता है, इसलिए, $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }$ .

$A$ से भुजा $BC$ तक एक लंब $AD$ खींचिए (चित्र-2 देखें)।

अब $\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup ACD$

अतः, $BD=DC$ और $\angle BAD=\angle CAD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

$\bigtriangleup ABD$ एक समकोण त्रिभुज है, जो $\angle BAD=30^{\circ }$ और $\angle ABD=60^{\circ }$ के साथ $D$ पर समकोण है।

मान लीजिए $AB=2a$ , अत: $BC=AC=AB=2a$

$BD={\frac {1}{2}}BC={\frac {1}{2}}\times 2a=a$

$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=(2a)^{2}-a^{2}=3a^{2}$

$AD=a{\sqrt {3}}$

$sin\ 30^{\circ }=\ {\frac {BD}{AB}}={\frac {a}{2a}}={\frac {1}{2}}$ , $cos\ 30^{\circ }=\ {\frac {AD}{AB}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2a}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , $tan\ 30^{\circ }=\ {\frac {BD}{AD}}={\frac {a}{a{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

$cosec\ 30^{\circ }={\frac {1}{sin\ 30^{\circ }}}=2$ , $sec\ 30^{\circ }={\frac {1}{cos\ 30^{\circ }}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}$ , $cot\ 30^{\circ }={\frac {1}{tan\ 30^{\circ }}}={\sqrt {3}}$

इसी प्रकार

$sin\ 60^{\circ }=\ {\frac {AD}{AB}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2a}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , $cos\ 60^{\circ }=\ {\frac {BD}{AB}}={\frac {a}{2a}}={\frac {1}{2}}$ , $tan\ 60^{\circ }=\ {\frac {AD}{BD}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{a}}={\sqrt {3}}$

$cosec\ 60^{\circ }={\frac {2}{\sqrt {3}}}$ , $sec\ 60^{\circ }={\frac {1}{cos\ 60^{\circ }}}=2$ , $cot\ 60^{\circ }={\frac {1}{tan\ 60^{\circ }}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

0°, 30°, 45°, 60° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात

$\angle A$	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$
$sin\ A$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$cos\ A$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$tan\ A$	$0$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	अपरिभाषित
$cosec\ A$	अपरिभाषित	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}$	$1$
$sec\ A$	$1$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	अपरिभाषित
$cot\ A$	अपरिभाषित	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$0$