कोण- परिभाषाएँ: Difference between revisions

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ज्यामिति में, रेखाएँ और कोण मूल शब्द हैं जो विषय की नींव स्थापित करते हैं। कोण को दो किरणों द्वारा बनाई गई एक आकृति के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक सामान्य समापन बिंदु पर मिलती हैं। इन्हें एक चांदे(प्रोट्रैक्टर) का उपयोग करके डिग्री में मापा जाता है। सभी ज्यामितीय आकृतियों में रेखाएँ और कोण होते हैं।

कोण

जब दो किरणें एक ही अंतिम बिंदु से निकलती हैं तो कोण बनता है। कोण बनाने वाली किरणें कोण की भुजाएं कहलाती हैं और अंतिम बिंदु कोण का शीर्ष कहलाता है।

कोणों को साधारणतः डिग्री में मापा जाता है और $^{\circ }$ (डिग्री प्रतीक) द्वारा दर्शाया जाता है, जो घूर्णन का एक माप है। कोण का मान $0^{\circ }$ से $360^{\circ }$ के बीच हो सकता है और इसे $\angle$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। चित्र 1 में देखें जो $\angle ABC$ दर्शाता है।

चित्र-1 कोण

कोण के प्रकार

न्यून कोण का माप $0^{\circ }$ और $90^{\circ }$ के बीच होता है, जबकि समकोण $90^{\circ }$ के बराबर होता है। $90^{\circ }$ से बड़ा लेकिन $180^{\circ }$ से छोटा कोण अधिक कोण कहलाता है। सीधा कोण $180^{\circ }$ के बराबर होता है। वह कोण जो $180^{\circ }$ से अधिक लेकिन $360^{\circ }$ से कम हो, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है। दो कोण जिनका योग $90^{\circ }$ है, पूरक कोण कहलाते हैं तथा दो कोण जिनका योग $180^{\circ }$ है, संपूरक कोण कहलाते हैं।

चित्र-2 कोण के प्रकार

आसन्न कोण

दो कोण आसन्न होते हैं, यदि उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष, एक उभयनिष्ठ भुजा हो और उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ उभयनिष्ठ भुजा के विभिन्न पक्षों पर हों। चित्र-3 में, $\angle ABD$ और $\angle DBC$ आसन्न कोण हैं। किरण $BD$ उनकी उभयनिष्ठ भुजा है और बिंदु $B$ उनका उभयनिष्ठ शीर्ष है। किरण $BA$ और किरण $BC$ गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं। जब दो कोण आसन्न होते हैं, तो उनका योग हमेशा दो गैर-उभयनिष्ठ भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है। इसलिए, हम $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$ लिख सकते हैं। ध्यान दें कि $\angle ABC$ और $\angle ABD$ आसन्न कोण नहीं हैं क्योंकि उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ $BD$ और $BC$ सामान्य भुजा $BA$ के एक ही ओर स्थित हैं।

चित्र-3 आसन्न कोण

कोणों का रैखिक युग्म

यदि चित्र-3 में गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ $BA$ और $BC$ एक रेखा बनाते हैं तो यह चित्र-4 जैसा दिखाई देगा। इस स्थिति में, $\angle ABD$ और $\angle DBC$ कोणों के रैखिक युग्म कहलाते हैं .

चित्र-4 कोणों का रैखिक युग्म

शीर्षाभिमुख कोण

शीर्षाभिमुख कोण तब बनते हैं जब दो रेखाएँ, मान लीजिए $AB$ और $CD$ , एक दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र-5 देखें)। शीर्षाभिमुख कोणों के दो युग्म हैं।

$\angle AOD$ and $\angle BOC$

$\angle AOC$ and $\angle DOB$

चित्र-5 शीर्षाभिमुख कोण

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 ज्यामिति में, रेखाएँ और कोण मूल शब्द हैं जो विषय की नींव स्थापित करते हैं। कोण को दो किरणों द्वारा बनाई गई एक आकृति के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक सामान्य समापन बिंदु पर मिलती हैं। इन्हें एक चांदे(प्रोट्रैक्टर) का उपयोग करके डिग्री में मापा जाता है। सभी ज्यामितीय आकृतियों में रेखाएँ और कोण होते हैं।
 == कोण ==
-An angle is formed when two rays originate from the same end point. The rays making an angle are called the arms of the angle and the end point is called the vertex of the angle.
+जब दो किरणें एक ही अंतिम बिंदु से निकलती हैं तो कोण बनता है। कोण बनाने वाली किरणें कोण की भुजाएं कहलाती हैं और अंतिम बिंदु कोण का शीर्ष कहलाता है।
-Angles are usually measured in degrees and denoted by <math>^\circ</math> (the degree symbol), which is a measure of rotation. An angle can have a value between <math>0^\circ</math> to <math>360^\circ</math> and it is denoted by the symbol <math>\angle</math>. Observe in the Fig. 1 which shows <math>\angle ABC</math>
+कोणों को साधारणतः डिग्री में मापा जाता है और <math>^\circ</math> (डिग्री प्रतीक) द्वारा दर्शाया जाता है, जो घूर्णन का एक माप है। कोण का मान <math>0^\circ</math> से <math>360^\circ</math> के बीच हो सकता है और इसे <math>\angle</math> प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। चित्र 1 में देखें जो <math>\angle ABC</math> दर्शाता है।
 [[File:Angle.jpg|alt=Fig.1 Angle|none|thumb|चित्र-1 कोण]]
 == कोण के प्रकार ==
-An acute angle measures between <math>0^\circ</math> and <math>90^\circ</math>, whereas a right angle is exactly equal to <math>90^\circ</math>. An angle greater than <math>90^\circ</math> but less than <math>180^\circ</math> is called an obtuse angle. Straight angle is equal to <math>180^\circ</math>. An angle which is greater than <math>180^\circ</math> but less than <math>360^\circ</math> is called a reflex angle. Two angles whose sum is <math>90^\circ</math> are called complementary angles, and two angles whose sum is <math>180^\circ</math> are called supplementary angles. [[File:Types of Angles.jpg|alt=Fig.2 Types of Angles|none|thumb|600x600px|चित्र-2 कोण के प्रकार]]
+न्यून कोण का माप <math>0^\circ</math> और <math>90^\circ</math> के बीच होता है, जबकि समकोण <math>90^\circ</math> के बराबर होता है। <math>90^\circ</math> से बड़ा लेकिन <math>180^\circ</math> से छोटा कोण अधिक कोण कहलाता है। सीधा कोण <math>180^\circ</math> के बराबर होता है। वह कोण जो <math>180^\circ</math> से अधिक लेकिन <math>360^\circ</math> से कम हो, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है। दो कोण जिनका योग <math>90^\circ</math> है, पूरक कोण कहलाते हैं तथा दो कोण जिनका योग <math>180^\circ</math> है, संपूरक कोण कहलाते हैं।
+[[File:Types of Angles - Hindi.jpg|alt=Fig.2 Types of Angles|none|thumb|800x800px|चित्र-2 कोण के प्रकार]]
 == आसन्न कोण ==
-Two angles are adjacent, if they have a common vertex, a common arm and their non-common arms are on different sides of the common arm. In Fig. 3, <math>\angle ABD</math> and <math>\angle DBC</math> are adjacent angles. Ray <math>BD</math> is their common arm and point <math>B</math> is their common vertex. Ray <math>BA</math> and ray <math>BC</math> are non common arms. When two angles are adjacent, then their sum is always equal to the angle formed by the two non common arms. So, we can write <math>\angle ABC =\angle ABD +\angle DBC</math>. Note that <math>\angle ABC</math> and <math>\angle ABD</math> are not adjacent angles because their non common arms <math>BD</math> and <math>BC</math> lie on the same side of the common arm <math>BA</math>.[[File:Adjacent angles.jpg|alt=Fig. 3 Adjacent angles|none|thumb|चित्र-3 आसन्न कोण]]
+दो कोण आसन्न होते हैं, यदि उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष, एक उभयनिष्ठ भुजा हो और उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ उभयनिष्ठ भुजा के विभिन्न पक्षों पर हों। चित्र-3 में, <math>\angle ABD</math> और <math>\angle DBC</math> आसन्न कोण हैं। किरण <math>BD</math> उनकी उभयनिष्ठ भुजा है और बिंदु <math>B</math> उनका उभयनिष्ठ शीर्ष है। किरण <math>BA</math> और किरण <math>BC</math> गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं। जब दो कोण आसन्न होते हैं, तो उनका योग हमेशा दो गैर-उभयनिष्ठ भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है। इसलिए, हम <math>\angle ABC =\angle ABD +\angle DBC</math>  लिख सकते हैं। ध्यान दें कि <math>\angle ABC</math> और <math>\angle ABD</math> आसन्न कोण नहीं हैं क्योंकि उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ <math>BD</math> और <math>BC</math> सामान्य भुजा <math>BA</math> के एक ही ओर स्थित हैं।[[File:Adjacent angles.jpg|alt=Fig. 3 Adjacent angles|none|thumb|चित्र-3 आसन्न कोण]]
 == कोणों का रैखिक युग्म ==
-If the non-common arms <math>BA</math> and <math>BC</math> in Fig. 3 form a line then it will look like Fig. 4. In this case, <math>\angle ABD</math> and <math>\angle DBC</math> are called linear pair of angles. [[File:Linear Pair of angles.jpg|alt=Fig.4 Linear pair of angles|none|thumb|चित्र-4 कोणों का रैखिक युग्म]]
+यदि चित्र-3 में गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ <math>BA</math> और <math>BC</math> एक रेखा बनाते हैं तो यह चित्र-4 जैसा दिखाई देगा। इस स्थिति में, <math>\angle ABD</math> और <math>\angle DBC</math> कोणों के  रैखिक युग्म कहलाते हैं . [[File:Linear Pair of angles.jpg|alt=Fig.4 Linear pair of angles|none|thumb|चित्र-4 कोणों का रैखिक युग्म]]
 == शीर्षाभिमुख कोण ==
-Vertically opposite angles formed when two lines, say <math>AB</math> and <math>CD</math>, intersect each other, say at the point <math>O</math> (see Fig. 5). There are two pairs of vertically opposite angles.
+शीर्षाभिमुख कोण तब बनते हैं जब दो रेखाएँ, मान लीजिए <math>AB</math> और <math>CD</math>, एक दूसरे को बिंदु <math>O</math> पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र-5 देखें)। शीर्षाभिमुख कोणों के दो युग्म हैं।
 <math>\angle AOD</math> and <math>\angle BOC</math>