कोणों के युग्म: Difference between revisions

Latest revision as of 09:16, 27 June 2024

जब कोण किसी निश्चित ज्यामितीय गुण को प्रदर्शित करने के लिए दो के समूह में दिखाई देते हैं तो उन्हें कोण युग्म कहा जाता है।कोण युग्मों के बीच एक विशेष संबंध होता है। कुछ कोण युग्मों में पूरक कोण, संपूरक कोण, ऊर्ध्वाधर कोण, वैकल्पिक आंतरिक कोण, वैकल्पिक बाह्य कोण, संगत कोण और आसन्न कोण उपस्थित हैं।

कोणों का रैखिक युग्म

जब दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेदहैं, तो आसन्न कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्मों का योग $180^{\circ }$ होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी रैखिक युग्म संपूरक होते हैं क्योंकि संपूरक कोणों का योग $180^{\circ }$ होता है। हालाँकि, सभी संपूरक कोणों का रैखिक युग्म होना आवश्यक नहीं है क्योंकि रैखिक युग्मों में आसन्न कोण बनाने के लिए रेखाओं को एक दूसरे को प्रतिच्छेद आवश्यक होता है। निम्नलिखित चित्र में, $\angle ABD$ कोण और $\angle CBD$ कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं और उनका योग $180^{\circ }$ के समान होता है। $\angle ABD+\angle CBD=180^{\circ }$

चित्र -1 कोणों का रैखिक युग्म

रैखिक युग्म अभिगृहीत

अभिगृहीत 1: यदि एक किरण किसी एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ }$ होता है। .

अभिगृहीत 2: यदि दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ }$ है, तो कोणों की गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक रेखा बनाती हैं।

चित्र 1 में $BD$ सम्भ्य भुजा है, $AB$ और $BC$ गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं।

प्रमेय 1

यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण समान होते हैं।

चित्र -2 -शीर्षाभिमुख कोण

प्रमाण: उपरोक्त कथन में, यह दिया गया है कि 'दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं'। इसलिए, मान लीजिए कि $AB$ और $CD$ दो रेखाएँ हैं जो $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जैसा कि चित्र-2 में दिखाया गया है। वे ऊर्ध्वाधर रूप से विपरीत कोणों के दो युग्म बनाते हैं, अर्थात्, (i) $\angle AOC$ और $\angle BOD$ (ii) $\angle AOD$ और $\angle BOC$ ।हमें यह सत्यापन करना होगा कि $\angle AOC=\angle BOD$ और $\angle AOD=\angle BOC$

अब किरण $OA$ , रेखा $CD$ पर खडी है।

अत: $\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ }......(1)$

$OD$ किरण, रेखा $AB$ पर खडी है।

अत: $\angle AOD+\angle BOD=180^{\circ }......(2)$

(1) एवं (2)) से

$\angle AOC+\angle AOD=\angle AOD+\angle BOD$

$\angle AOC=\angle BOD$

$OC$ , रेखा $AB$ पर खडी है।

अत: $\angle AOC+\angle BOC=180^{\circ }......(3)$

(1) एवं (3) से

$\angle AOC+\angle AOD=\angle AOC+\angle BOC$

$\angle AOD=\angle BOC$

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-जब कोण किसी निश्चित ज्यामितीय गुण को प्रदर्शित करने के लिए दो के समूह में दिखाई देते हैं तो उन्हें कोण युग्म कहा जाता है।कोण युग्मों के बीच एक विशेष संबंध होता है। कुछ कोण युग्मों में पूरक कोण, संपूरक कोण, ऊर्ध्वाधर कोण, वैकल्पिक आंतरिक कोण, वैकल्पिक बाह्य कोण, संगत कोण और आसन्न कोण शामिल हैं।
+जब कोण किसी निश्चित ज्यामितीय गुण को प्रदर्शित करने के लिए दो के समूह में दिखाई देते हैं तो उन्हें कोण युग्म कहा जाता है।कोण युग्मों के बीच एक विशेष संबंध होता है। कुछ कोण युग्मों में पूरक कोण, संपूरक कोण, ऊर्ध्वाधर कोण, वैकल्पिक आंतरिक कोण, वैकल्पिक बाह्य कोण, संगत कोण और आसन्न कोण उपस्थित हैं।
 == कोणों का रैखिक युग्म ==
-When two lines intersect each other, the adjacent angles make a linear pair. The sum of linear pairs is <math>180^\circ</math>. It should be noted that all linear pairs are supplementary because supplementary angles sum up to <math>180^\circ</math>. However, all supplementary angles need not be linear pairs because in linear pairs the lines need to intersect each other to form adjacent angles. In the following figure, <math>\angle ABD</math> and <math>\angle CBD</math>  form a linear pair and their sum is equal to <math>180^\circ</math>. <math>\angle ABD+\angle CBD=180^\circ</math>
+जब दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेदहैं, तो आसन्न कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्मों का योग <math>180^\circ</math>होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी रैखिक युग्म संपूरक होते हैं क्योंकि संपूरक कोणों का योग <math>180^\circ</math>होता है। हालाँकि, सभी संपूरक कोणों का रैखिक युग्म होना आवश्यक नहीं है क्योंकि रैखिक युग्मों में आसन्न कोण बनाने के लिए रेखाओं को एक दूसरे को प्रतिच्छेद आवश्यक होता है। निम्नलिखित चित्र में, <math>\angle ABD</math> कोण और <math>\angle CBD</math> कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं और उनका योग <math>180^\circ</math> के समान होता है। <math>\angle ABD+\angle CBD=180^\circ</math>
-[[File:Linear Pair of angles.jpg|alt=Fig. 1 - Linear Pair of angles|none|thumb|Fig. 1 - Linear Pair of angles]]
+[[File:Linear Pair of angles.jpg|alt=Fig. 1 - Linear Pair of angles|none|thumb|चित्र -1 कोणों का रैखिक युग्म]]
 == रैखिक युग्म अभिगृहीत ==
-'''Axiom 1''': If a ray stands on a line, then the sum of two adjacent angles so formed is <math>180^\circ</math>.
+'''अभिगृहीत 1''': यदि एक किरण किसी एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग <math>180^\circ</math> होता है। .
-'''Axiom 2''': If the sum of two adjacent angles is <math>180^\circ</math>, then the non-common arms of the angles form a line.
+'''अभिगृहीत 2''': यदि दो आसन्न कोणों का योग <math>180^\circ</math> है, तो कोणों की गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक रेखा बनाती हैं।
-In Fig.1 <math>BD</math> is the common arm , <math>AB</math> and <math>BC</math> are the non-common arms.
+चित्र 1 में <math>BD</math> सम्भ्य भुजा है, <math>AB</math> और <math>BC</math> गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं।
-'''Theorem 1'''
+'''प्रमेय 1'''
-If two lines intersect each other, then the vertically opposite angles are equal.
+यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण समान होते हैं।[[File:Vertically opposite angles.jpg|alt=Fig 2 - Vertically opposite angles|none|thumb|चित्र -2 -शीर्षाभिमुख कोण]]
-[[File:Vertically opposite angles.jpg|alt=Fig 2 - Vertically opposite angles|none|thumb|Fig 2 - Vertically opposite angles]]
+'''प्रमाण''': उपरोक्त कथन में, यह दिया गया है कि 'दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं'। इसलिए, मान लीजिए कि <math>AB</math> और <math>CD</math> दो रेखाएँ हैं जो <math>O</math> पर प्रतिच्छेद करती हैं जैसा कि चित्र-2 में दिखाया गया है। वे ऊर्ध्वाधर रूप से विपरीत कोणों के दो युग्म बनाते हैं, अर्थात्, (i) <math>\angle AOC</math> और <math>\angle BOD</math> (ii) <math>\angle AOD</math> और <math>\angle BOC</math>।हमें यह सत्यापन करना होगा कि <math>\angle AOC=\angle BOD</math> और <math>\angle AOD=\angle BOC</math>
-'''Proof''' : In the statement above, it is given that ‘two lines intersect each other’. So, let <math>AB</math> and <math>CD</math> be two lines intersecting at <math>O</math> as shown in Fig. 2. They lead to two pairs of vertically opposite angles, namely, (i) <math>\angle AOC</math> and <math>\angle BOD</math> (ii) <math>\angle AOD</math> and <math>\angle BOC</math>. We need to prove that <math>\angle AOC=\angle BOD</math> and <math>\angle AOD=\angle BOC</math>
-Now, ray <math>OA</math> stands on line <math>CD</math>.
-Hence <math>\angle AOC+\angle AOD=180^\circ......(1)</math>
+अब किरण <math>OA</math>, रेखा <math>CD</math> पर खडी है।
-ray <math>OD</math> stands on line <math>AB</math>.
+अत: <math>\angle AOC+\angle AOD=180^\circ......(1)</math>
-Hence <math>\angle AOD+\angle BOD=180^\circ......(2)</math>
+<math>OD</math> किरण, रेखा <math>AB</math> पर खडी है।
-From (1) and (2)
+अत:  <math>\angle AOD+\angle BOD=180^\circ......(2)</math>
+(1)  एवं (2)) से
 <math>\angle AOC+\angle AOD=\angle AOD+\angle BOD</math>
@@ Line 34: / Line 34: @@
-<math>OC</math> stands on line <math>AB</math>.
+<math>OC</math>, रेखा <math>AB</math> पर खडी है।
-Hence <math>\angle AOC+\angle BOC=180^\circ......(3)</math>
+अत: <math>\angle AOC+\angle BOC=180^\circ......(3)</math>
-From (1) and (3)
+(1) एवं (3) से
 <math>\angle AOC+\angle AOD=\angle AOC+\angle BOC</math>