समांतर चतुर्भुज के गुण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:56, 9 September 2024

चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं।

चित्र-1

उपरोक्त चित्र में, 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ 𝐴⁢𝐵∥𝐶⁢𝐷 और 𝐴𝐷∥𝐵⁢𝐶 है।

साथ ही, $AB=CD$ और $AD=BC$

तथा, $\angle A=\angle C$ , $\angle B=\angle D$

इसके अतिरिक्त, $\angle A$ और $\angle D$ जुड़े हुए कोने हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण त्रियाक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी तरह, $\angle B$ और $\angle C$ जुड़े हुए हैं।

अतः,

$\angle A+\angle D=180$

$\angle B+\angle C=180$

प्रमेय 1: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।

प्रमेय 8.2: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं

प्रमेय 8.3: यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमेय 8.4: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण समान होते हैं

प्रमेय 8.5: यदि चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

प्रमेय 8.6: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

प्रमेय 8.7: यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

उदाहरण

चित्र-2

1. दर्शाइए कि आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

हल : आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।

मान लीजिए कि $ABCD$ एक आयत है जिसमें $\angle A=90^{\circ }$ है

हमें यह दिखाना है कि $\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$

हमारे पास, $AD\parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,

$\angle A+\angle B=180^{\circ }$ (अनुप्रस्थ रेखा के एक ही तरफ आंतरिक कोण)

$\angle A=90^{\circ }$

$\angle B=180^{\circ }-\angle A$

$\angle B=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

$\angle C=\angle A$ और $\angle D=\angle B$ (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)

इसलिए $\angle C=90^{\circ }$ ° और $\angle D=90^{\circ }$

इसलिए, आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-[[Category:गणित]]
+चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं।
-[[Category:ज्यामिति]]
+[[File:Parallelogram.svg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र-1|none]]
-[[Category:चतुर्भुज]]
+उपरोक्त चित्र में, 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ 𝐴⁢𝐵∥𝐶⁢𝐷 और 𝐴𝐷∥𝐵⁢𝐶 है।
+साथ ही, <math>AB= CD</math> और <math>AD= BC</math>
+तथा, <math>\angle A=\angle C</math> , <math>\angle B=\angle D</math>
+इसके अतिरिक्त, <math>\angle A</math> और <math>\angle D</math> जुड़े हुए कोने हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण त्रियाक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी तरह, <math>\angle B</math> और <math>\angle C</math> जुड़े हुए हैं।
+अतः,
+<math>\angle A +\angle D = 180
+</math>
+<math>\angle B +\angle C = 180
+</math>
+'''प्रमेय 1''': समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।
+'''प्रमेय 8.2''': समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं
+'''प्रमेय 8.3''': यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
+'''प्रमेय 8.4''': समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण समान होते हैं
+'''प्रमेय 8.5''': यदि चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है
+'''प्रमेय 8.6''': समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
+'''प्रमेय 8.7''': यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है
+== उदाहरण ==
+[[File:Rectangle.svg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र-2]]
+. दर्शाइए कि आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
+'''हल''' : आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।
+मान लीजिए कि <math>ABCD</math> एक आयत है जिसमें <math>\angle A=90 ^\circ</math> है
+हमें यह दिखाना है कि  <math>\angle B=\angle C=\angle D=90 ^\circ</math>
+हमारे पास,  <math>AD \parallel BC</math> और <math>AB</math> एक तिर्यक रेखा है,
+<math>\angle A +\angle B=180 ^\circ</math>(अनुप्रस्थ रेखा के एक ही तरफ आंतरिक कोण)
+<math>\angle A=90 ^\circ</math>
+<math> \angle B=180 ^\circ- \angle A</math>
+<math> \angle B=180 ^\circ- 90 ^\circ =90 ^\circ</math>
+<math>\angle C=\angle A</math> और <math>\angle D=\angle B</math> (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
+इसलिए <math>\angle C=90 ^\circ</math>° और  <math>\angle D=90 ^\circ</math>
+इसलिए, आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
+[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]