समांतर चतुर्भुज के गुण

चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं।

चित्र-1

उपरोक्त चित्र में, 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ 𝐴⁢𝐵∥𝐶⁢𝐷 और 𝐴𝐷∥𝐵⁢𝐶 है।

साथ ही, $AB=CD$ और $AD=BC$

तथा, $\angle A=\angle C$ , $\angle B=\angle D$

इसके अतिरिक्त, $\angle A$ और $\angle D$ जुड़े हुए कोने हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण त्रियाक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी तरह, $\angle B$ और $\angle C$ जुड़े हुए हैं।

अतः,

$\angle A+\angle D=180$

$\angle B+\angle C=180$

प्रमेय 1: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।

प्रमेय 8.2: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं

प्रमेय 8.3: यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमेय 8.4: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण समान होते हैं

प्रमेय 8.5: यदि चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

प्रमेय 8.6: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

प्रमेय 8.7: यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

उदाहरण

चित्र-2

1. दर्शाइए कि आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

हल : आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।

मान लीजिए कि $ABCD$ एक आयत है जिसमें $\angle A=90^{\circ }$ है

हमें यह दिखाना है कि $\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$

हमारे पास, $AD\parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,

$\angle A+\angle B=180^{\circ }$(अनुप्रस्थ रेखा के एक ही तरफ आंतरिक कोण)

$\angle A=90^{\circ }$

$\angle B=180^{\circ }-\angle A$

$\angle B=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

$\angle C=\angle A$ और $\angle D=\angle B$ (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)

इसलिए $\angle C=90^{\circ }$° और $\angle D=90^{\circ }$

इसलिए, आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।