समांतर चतुर्भुज के गुण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:56, 9 September 2024

चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं।

चित्र-1

उपरोक्त चित्र में, 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ 𝐴⁢𝐵∥𝐶⁢𝐷 और 𝐴𝐷∥𝐵⁢𝐶 है।

साथ ही, $AB=CD$ और $AD=BC$

तथा, $\angle A=\angle C$ , $\angle B=\angle D$

इसके अतिरिक्त, $\angle A$ और $\angle D$ जुड़े हुए कोने हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण त्रियाक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी तरह, $\angle B$ और $\angle C$ जुड़े हुए हैं।

अतः,

$\angle A+\angle D=180$

$\angle B+\angle C=180$

प्रमेय 1: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।

प्रमेय 8.2: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं

प्रमेय 8.3: यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमेय 8.4: समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण समान होते हैं

प्रमेय 8.5: यदि चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

प्रमेय 8.6: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

प्रमेय 8.7: यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है

उदाहरण

चित्र-2

1. दर्शाइए कि आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

हल : आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।

मान लीजिए कि $ABCD$ एक आयत है जिसमें $\angle A=90^{\circ }$ है

हमें यह दिखाना है कि $\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$

हमारे पास, $AD\parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,

$\angle A+\angle B=180^{\circ }$ (अनुप्रस्थ रेखा के एक ही तरफ आंतरिक कोण)

$\angle A=90^{\circ }$

$\angle B=180^{\circ }-\angle A$

$\angle B=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

$\angle C=\angle A$ और $\angle D=\angle B$ (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)

इसलिए $\angle C=90^{\circ }$ ° और $\angle D=90^{\circ }$

इसलिए, आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-A quadrilateral has four sides, four angles and four vertices. A parallelogram is a quadrilateral in which both pairs of opposite sides are parallel.
+चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं।
-[[File:Parallelogram.svg|alt=Fig. 1|thumb|Fig. 1|none]]
+[[File:Parallelogram.svg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र-1|none]]
-In the figure above, <math>ABCD</math> is a parallelogram, where <math>AB \parallel CD</math> and <math>AD \parallel BC</math>.
+उपरोक्त चित्र में, 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ 𝐴⁢𝐵∥𝐶⁢𝐷 और 𝐴𝐷∥𝐵⁢𝐶 है।
-Also, <math>AB= CD</math> and <math>AD= BC</math>
+साथ ही, <math>AB= CD</math> और <math>AD= BC</math>
-And, <math>\angle A=\angle C</math> , <math>\angle B=\angle D</math>
+तथा, <math>\angle A=\angle C</math> , <math>\angle B=\angle D</math>
-Also, <math>\angle A</math> & <math>\angle D</math> are supplementary angles because these interior angles lie on the same side of the transversal. In the same way, <math>\angle B</math> & <math>\angle C</math> are supplementary angles.
+इसके अतिरिक्त, <math>\angle A</math> और <math>\angle D</math> जुड़े हुए कोने हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण त्रियाक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी तरह, <math>\angle B</math> और <math>\angle C</math> जुड़े हुए हैं।
-Therefore,
+अतः,
 <math>\angle A +\angle D = 180
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 </math>
-'''Theorem 1:''' A diagonal of a parallelogram divides it into two congruent triangles.
+'''प्रमेय 1''': समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।
-'''Theorem 8.2:''' In a parallelogram, opposite sides are equal
+'''प्रमेय 8.2''': समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं
-'''Theorem 8.3:''' If each pair of opposite sides of a quadrilateral is equal, then it is a parallelogram.
+'''प्रमेय 8.3''': यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
-'''Theorem 8.4:''' In a parallelogram, opposite angles are equal
+'''प्रमेय 8.4''': समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण समान होते हैं
-'''Theorem 8.5:''' If in a quadrilateral, each pair of opposite angles is equal, then it is a parallelogram
+'''प्रमेय 8.5''': यदि चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म समान हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है
-'''Theorem 8.6:''' The diagonals of a parallelogram bisect each other
+'''प्रमेय 8.6''': समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
-'''Theorem 8.7:''' If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, then it is a parallelogram
+'''प्रमेय 8.7''': यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है
-== Examples ==
+== उदाहरण ==
-[[File:Rectangle.svg|alt=Fig. 2|thumb|Fig. 2]]
+[[File:Rectangle.svg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र-2]]
-. Show that each angle of a rectangle is a right angle.
+. दर्शाइए कि आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
-'''Solution''' : A rectangle is a parallelogram in which one angle is a right angle.
+'''हल''' : आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।
-Let <math>ABCD</math> be a rectangle in which <math>\angle A=90 ^\circ</math>
+मान लीजिए कि <math>ABCD</math> एक आयत है जिसमें <math>\angle A=90 ^\circ</math> है
-We have to show that <math>\angle B=\angle C=\angle D=90 ^\circ</math>
+हमें यह दिखाना है कि  <math>\angle B=\angle C=\angle D=90 ^\circ</math>
-We have, <math>AD \parallel BC</math> and <math>AB</math> is a transversal
+हमारे पास,  <math>AD \parallel BC</math> और <math>AB</math> एक तिर्यक रेखा है,
-<math>\angle A +\angle B=180 ^\circ</math>(Interior angles on the same side of the transversal)
+<math>\angle A +\angle B=180 ^\circ</math>(अनुप्रस्थ रेखा के एक ही तरफ आंतरिक कोण)
 <math>\angle A=90 ^\circ</math>
@@ Line 52: / Line 52: @@
 <math> \angle B=180 ^\circ- 90 ^\circ =90 ^\circ</math>
-<math>\angle C=\angle A</math> and <math>\angle D=\angle B</math> (Opposite angles of the parallellogram)
+<math>\angle C=\angle A</math> और <math>\angle D=\angle B</math> (समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
-So <math>\angle C=90 ^\circ</math>° and <math>\angle D=90 ^\circ</math>
+इसलिए <math>\angle C=90 ^\circ</math>° और  <math>\angle D=90 ^\circ</math>
-Therefore, each of the angles of a rectangle is a right angle.
+इसलिए, आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
 [[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]