एक ही रेखा के समानांतर रेखाएँ

चित्र -1 अनुप्रस्थ रेखा

यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समानान्तर हों तो क्या वे एक-दूसरे के समानान्तर होंगी? आइए सत्यापित करें।

चित्र-1 में रेखा $m||$ रेखा $l$ और रेखा $n||$ रेखा $l$।

आइए हम रेखाओं $l,m,n$ के लिए एक रेखा $t$ अनुप्रस्थ रेखा खींचें

हम जानते हैं कि रेखा $m||$ रेखा $l$ और रेखा $n||$ रेखा $l$ है।

अतः $\angle 1=\angle 2$ और $\angle 1=\angle 3$ (संगत कोण अभिगृहीत)

परंतु $\angle 2=\angle 3$ क्योंकि वे संगत कोण हैं

अतः, हम कह सकते हैं कि रेखा $m||$ रेखा $n$ (संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

इस परिणाम को निम्नलिखित प्रमेय के रूप में बताया जा सकता है:

प्रमेय 1: वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समानान्तर होती हैं, एक दूसरे के समानान्तर होती हैं।

उदाहरण

दिए गए चित्र से, $AB||CD$, $CD||EF$, $EA\perp AB$ और $\angle BEF=55^{\circ }$। $x,y,z$. का मान ज्ञात कीजिए।

चित्र. 2

हल:

मान लें कि $AB||CD$, $CD||EF$, $EA\perp AB$ और $\angle BEF=55^{\circ }$

अतः, $y+55^{\circ }=180^{\circ }$ (अनुप्रस्थ रेखा $ED$ के एक ही तरफ आंतरिक कोण )

इसलिए, $y=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$

संगत कोण अभिगृहीत का उपयोग करके, $AB||CD$, हम ऐसा कह सकते हैं $x=y$।

अतः, $x=125^{\circ }$ का मूल्य

चूँकि, $AB||CD$ और $CD||EF$, इसलिए $AB||EF$।

इसलिए, हम लिख सकते हैं: $\angle FEA+\angle EAB=180^{\circ }$(अनुप्रस्थ रेखा $EA$ के एक ही तरफ आंतरिक कोण )

$55^{\circ }+z+90^{\circ }=180^{\circ }$

$z=180^{\circ }-90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }$

इसलिए, $x,y,z$ के मान $125^{\circ },125^{\circ },35^{\circ }$ क्रमशः हैं।