रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात: Difference between revisions

Revision as of 10:42, 16 December 2024

दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोसाइन

परिभाषा

दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोसाइन $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोसाइन को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$ के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा $OA$ की दिक्- कोसाइन है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

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-Direction Cosines and Direction Ratios of a Line
+दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन|251x251px]]
+== परिभाषा ==
+दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
+एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+हैं।
+दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
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