रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात: Difference between revisions

Revision as of 10:59, 16 December 2024

दिक्- कोज्या ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या है।

दिक्- अनुपात तीन अक्षों, x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में मदद करता है। एक सदिश →A=a^i+b^j+c^k के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः a, b और c हैं। दिक्- अनुपात दिक्- कोसाइन, दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट उत्पाद खोजने में मदद करते हैं।

आइए दिक्- कोज्या , दिक्- कोज्या के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या के बारे में अधिक जानें।

आइए उदाहरणों और FAQs की सहायता से दिशा अनुपातों, दिशा कोसाइन के साथ उनके संबंध और दिशा अनुपातों के उपयोगों के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोज्या

दिक्- कोज्या परिभाषा

दिक्- कोज्या त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोज्या $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोज्या को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$ के लिए दिक्- कोज्या इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या है। रेखा $OA$ की दिक्- कोज्या है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्-अनुपात परिभाषा

दिशा अनुपात क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिशा अनुपात →A=a^i+b^j+c^k क्रमशः (a, b, c) हैं, और ये मान क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिशा अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। दो-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिशा अनुपात होते हैं, और तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिशा अनुपात होते हैं।

Vector: →A=a^i+b^j+c^k

Direction Ratios: a, b, c

दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिशा अनुपात हैं

(x2−x1,y2−y1,z2−z1)। दिशा अनुपात किसी रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिशा अनुपातों का एक अनंत सेट हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं।

दिशा अनुपात का उपयोग

दिशा अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों →A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k ,के लिए दिशा अनुपात A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. हैं।

दिशा अनुपात दो सदिशों का डॉट उत्पाद ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट उत्पाद दो सदिशों के संबंधित दिशा अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों →A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k , के लिए सदिशों का डॉट उत्पाद A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. है

दिशा अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को खोजने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के cos की गणना दो सदिशों के डॉट उत्पाद को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k, के लिए दो सदिशों के बीच का कोण Cosθ=a1.a2+b1.b2+c1.c2√a21+b21+c21.√a22+b22+c22 . है

दिशा अनुपात और दिशा कोसाइन के बीच संबंध

दिशा अनुपात एक रेखा की दिशा कोसाइन खोजने में मदद करते हैं। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।

दिशा अनुपात a, b, c वाले सदिश

→A=a^i+b^j+c ^k के लिए दिशा कोसाइन Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ =

b√a2+b2+c2,Cosγ =c√a2+b2+c2 है। दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को l =a√a2+b2+c2,m =b√a2+b2+c2, n =c√a2+b2+c2 के रूप में दर्शाते हैं।

यहाँ हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।

उदाहरण 1: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिशा अनुपात ज्ञात करें →OA=4^i−3^j+2^k.

समाधान:

दिया गया सदिश है

→OA=4^i−3^j+2^k.

दिशा अनुपात = (4, -3, 2)

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-दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+दिक्- कोज्या  ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या   की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या   है।
-आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+दिक्- अनुपात तीन अक्षों, x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में मदद करता है। एक सदिश →A=a^i+b^j+c^k के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः a, b और c हैं। दिक्- अनुपात दिक्- कोसाइन, दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट उत्पाद खोजने में मदद करते हैं।
-[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन|251x251px]]
-== परिभाषा ==
+आइए दिक्- कोज्या  , दिक्- कोज्या   के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या   के बारे में अधिक जानें।
-दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
-एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+आइए उदाहरणों और FAQs की सहायता से दिशा अनुपातों, दिशा कोसाइन के साथ उनके संबंध और दिशा अनुपातों के उपयोगों के बारे में अधिक जानें।
+[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोज्या  |251x251px]]
+== दिक्- कोज्या परिभाषा ==
+दिक्- कोज्या  त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या   इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या   है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोज्या   क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
+एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोज्या   <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
 हैं।
-दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+दिक्- कोज्या   को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या   को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोज्या   इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या   है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोज्या   है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+== दिक्-अनुपात परिभाषा ==
+दिशा अनुपात क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिशा अनुपात  →A=a^i+b^j+c^k क्रमशः (a, b, c) हैं, और ये मान क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिशा अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। दो-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिशा अनुपात होते हैं, और तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिशा अनुपात होते हैं।
+'''Vector: →A=a^i+b^j+c^k'''
+'''Direction Ratios:''' a, b, c
+दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिशा अनुपात हैं
+(x2−x1,y2−y1,z2−z1)। दिशा अनुपात किसी रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिशा अनुपातों का एक अनंत सेट हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं।
+== दिशा अनुपात का उपयोग ==
+दिशा अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों
+→A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k ,के लिए दिशा अनुपात A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. हैं।
+दिशा अनुपात दो सदिशों का डॉट उत्पाद ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट उत्पाद दो सदिशों के संबंधित दिशा अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों  →A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k ,   के लिए सदिशों का डॉट उत्पाद A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. है
+दिशा अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को खोजने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के cos की गणना दो सदिशों के डॉट उत्पाद को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k, के लिए दो सदिशों के बीच का कोण Cosθ=a1.a2+b1.b2+c1.c2√a21+b21+c21.√a22+b22+c22 . है
+== दिशा अनुपात और दिशा कोसाइन के बीच संबंध ==
+दिशा अनुपात एक रेखा की दिशा कोसाइन खोजने में मदद करते हैं। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।
+दिशा अनुपात a, b, c वाले सदिश
+→A=a^i+b^j+c ^k के लिए दिशा कोसाइन Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ =
+b√a2+b2+c2,Cosγ =c√a2+b2+c2 है। दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को l =a√a2+b2+c2,m =b√a2+b2+c2, n =c√a2+b2+c2 के रूप में दर्शाते हैं।
+यहाँ हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।
+उदाहरण 1: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिशा अनुपात ज्ञात करें →OA=4^i−3^j+2^k.
+समाधान:
+दिया गया सदिश है
+→OA=4^i−3^j+2^k.
+दिशा अनुपात = (4, -3, 2)
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