रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात: Difference between revisions

Latest revision as of 11:53, 16 December 2024

दिक्- कोज्या ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या है।

दिक्-अनुपात तीन अक्षों, $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में सहायता करता है। एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः $a,b$ और $c$ हैं। दिक्- अनुपात, दिक्- कोज्या , दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

आइए दिक्- कोज्या, दिक्- अनुपात , दिक्- कोज्या के साथ दिक्- अनुपात के संबंध और दिक्- अनुपातों के उपयोगों और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोज्या

दिक्- कोज्या परिभाषा

दिक्- कोज्या, त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोज्या $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोज्या को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$ के लिए दिक्- कोज्या इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या है। रेखा $OA$ की दिक्- कोज्या है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्-अनुपात परिभाषा

दिक्- अनुपात क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिक्- अनुपात ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ क्रमशः $(a,b,c)$ हैं, और ये मान क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिक्- अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिक्- अनुपात होते हैं, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिक्- अनुपात होते हैं।

सदिश: ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$

दिक्-अनुपात: $a,b,c$

दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1},z_{1})$ और $(x_{2},y_{2},z_{2})$ को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिक्- अनुपात $(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$ हैं। दिक्- अनुपात किसी रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिक्- अनुपातों का एक अनंत समुच्चय हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं।

दिक्- अनुपात का उपयोग

दिक्- अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$ , के लिए दिक्- अनुपात ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$ हैं।

दिक्- अनुपात दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के संबंधित दिक्- अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$ के लिए सदिशों का डॉट गुणनफल ${\overrightarrow {A}}\cdot {\overrightarrow {B}}=a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}$ है।

दिक्- अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को ज्ञात करने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के $cos$ की गणना दो सदिशों के डॉट गुणनफल को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों ${\overrightarrow {A}}=a_{1}{\overset {\frown }{i}}+b_{1}{\overset {\frown }{j}}+c_{1}{\overset {\frown }{k}},\ a_{2}{\overset {\frown }{i}}+b_{2}{\overset {\frown }{j}}+c_{2}{\overset {\frown }{k}},$ के लिए दो सदिशों के बीच का कोण $Cos\theta ={\frac {a_{1}\cdot a_{2}+b1\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$ है।

दिक्- अनुपात और दिक्- कोज्या के बीच संबंध

दिक्- अनुपात एक रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करने में सहायता करते हैं। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

दिक्- अनुपात $a,b,c$ वाले सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोज्या $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ है।

दिक्- कोज्या को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिक्- कोज्या को l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ के रूप में दर्शाते हैं।

यहाँ हमl $l=Cos\alpha ,m=Cos\beta ,n=Cos\gamma$ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिक्- कोज्या के बीच संबंध $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है।

उदाहरण

उदाहरण 1: बिंदु $(-4,2,3)$ को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु $(0,0,0)$ और बिंदु $(-4,2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात $-4,2,3$ हैं।

रेखा का परिमाण $={\sqrt {(-4)^{2}+2^{2}+3^{2})}}={\sqrt {29}}$

इसलिए दिक्- कोज्या $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

उदाहरण 2: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिक्- अनुपात ज्ञात करें ${\overrightarrow {OA}}=4{\overset {\frown }{i}}-3{\overset {\frown }{j}}+2{\overset {\frown }{k}}$

समाधान:

दिया गया सदिश ${\overrightarrow {OA}}=4{\overset {\frown }{i}}-3{\overset {\frown }{j}}+2{\overset {\frown }{k}}$ है ।

दिक्- अनुपात $=(4,-3,2)$

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 दिक्- कोज्या  ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या   की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या   है।
-दिक्- अनुपात तीन अक्षों, x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में मदद करता है। एक सदिश →A=a^i+b^j+c^k के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः a, b और c हैं। दिक्- अनुपात दिक्- कोसाइन, दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट उत्पाद खोजने में मदद करते हैं।
+दिक्-अनुपात तीन अक्षों, <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में सहायता करता है। एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math> के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः<math>a, b</math> और <math>c</math> हैं। दिक्- अनुपात, दिक्- कोज्या , दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने में सहायता करते हैं।
-आइए दिक्- कोज्या  , दिक्- कोज्या   के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या   के बारे में अधिक जानें।
+आइए दिक्- कोज्या, दिक्- अनुपात , दिक्- कोज्या के साथ दिक्- अनुपात के संबंध और दिक्- अनुपातों के उपयोगों  और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या के बारे में अधिक जानें।
-आइए उदाहरणों और FAQs की सहायता से दिशा अनुपातों, दिशा कोसाइन के साथ उनके संबंध और दिशा अनुपातों के उपयोगों के बारे में अधिक जानें।
 [[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोज्या  |251x251px]]
 == दिक्- कोज्या परिभाषा ==
-दिक्- कोज्या  त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या   इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या   है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोज्या   क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
+[[दिक्-कोसाइन|दिक्- कोज्या]], त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या  इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या  है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोज्या  क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
 एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोज्या   <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
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 हैं।
+दिक्- कोज्या  को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोज्या   इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या  है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोज्या है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
-दिक्- कोज्या   को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या   को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोज्या   इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या   है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोज्या   है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
 == दिक्-अनुपात परिभाषा ==
-दिशा अनुपात क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिशा अनुपात  →A=a^i+b^j+c^k क्रमशः (a, b, c) हैं, और ये मान क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिशा अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। दो-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिशा अनुपात होते हैं, और तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिशा अनुपात होते हैं।
+दिक्- अनुपात क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ एक सदिश के घटक होते हैं। एक सदिश के दिक्- अनुपात  <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math> क्रमशः <math>(a, b, c) </math> हैं, और ये मान क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ सदिश के घटक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दिक्- अनुपात की संख्या अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, दो दिक्- अनुपात होते हैं, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए, तीन दिक्- अनुपात होते हैं।
-'''Vector: →A=a^i+b^j+c^k'''
-'''Direction Ratios:''' a, b, c
-दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिशा अनुपात हैं
+'''सदिश: <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>'''
-(x2−x1,y2−y1,z2−z1)। दिशा अनुपात किसी रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिशा अनुपातों का एक अनंत सेट हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं।
+'''दिक्-अनुपात:'''   <math>a, b, c </math>
-== दिशा अनुपात का उपयोग ==
+दो बिंदुओं <math>(x_1,y_1,z_1) </math> और <math>(x_2,y_2,z_2) </math> को जोड़ने वाली एक सदिश रेखा के दिक्- अनुपात <math>(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) </math> हैं। दिक्-  अनुपात किसी रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करने के लिए उपयोगी होते हैं। किसी दी गई रेखा के लिए दिक्- अनुपातों का एक अनंत समुच्चय हो सकता है, और दो समानांतर रेखाओं के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं।
-दिशा अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिशा अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों
-→A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k ,के लिए दिशा अनुपात A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. हैं।
+== दिक्- अनुपात का उपयोग ==
+दिक्- अनुपात का उपयोग दो सदिशों की तुलना करने के लिए किया जाता है। दो समांतर सदिशों के दिक्- अनुपात समानुपात में होते हैं। दो सदिशों '''<math>\overrightarrow{A}=a_1\overset{\frown}{i}+b_1\overset{\frown}{j}+c_1 \overset{\frown}{k},\ a_2 \overset{\frown}{i}+b_2\overset{\frown}{j}+c_2 \overset{\frown}{k}, </math>''', के लिए दिक्- अनुपात <math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} </math> हैं।
-दिशा अनुपात दो सदिशों का डॉट उत्पाद ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट उत्पाद दो सदिशों के संबंधित दिशा अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों  →A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k ,   के लिए सदिशों का डॉट उत्पाद A.→B=a1.a2+b1.b2+c1.c2. है
+दिक्-  अनुपात दो सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। दो सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के संबंधित दिक्-  अनुपातों के गुणनफल का योग है। दो सदिशों  '''<math>\overrightarrow{A}=a_1\overset{\frown}{i}+b_1\overset{\frown}{j}+c_1 \overset{\frown}{k},\ a_2 \overset{\frown}{i}+b_2\overset{\frown}{j}+c_2 \overset{\frown}{k}, </math>'''  के लिए सदिशों का डॉट गुणनफल <math>\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2 </math> है।
-दिशा अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को खोजने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के cos की गणना दो सदिशों के डॉट उत्पाद को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों A=a1^i+b1^j+c1^k, →B=a2^i+b2^j+c2^k, के लिए दो सदिशों के बीच का कोण Cosθ=a1.a2+b1.b2+c1.c2√a21+b21+c21.√a22+b22+c22 . है
+दिक्-  अनुपात दो सदिशों के बीच के कोण को ज्ञात करने में सहायक है। दो सदिशों के बीच के कोण के <math>cos </math> की गणना दो सदिशों के डॉट गुणनफल को लेकर और उसे दो सदिशों के परिमाण के गुणनफल से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है। दो सदिशों '''<math>\overrightarrow{A}=a_1\overset{\frown}{i}+b_1\overset{\frown}{j}+c_1 \overset{\frown}{k},\ a_2 \overset{\frown}{i}+b_2\overset{\frown}{j}+c_2 \overset{\frown}{k}, </math>''' के लिए दो सदिशों के बीच का कोण <math>Cos\theta=\frac{a_1\cdot a_2+b1\cdot b_2+c_1\cdot c_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2 }} </math>है।
-== दिशा अनुपात और दिशा कोसाइन के बीच संबंध ==
+== दिक्- अनुपात और दिक्- कोज्या के बीच संबंध ==
-दिशा अनुपात एक रेखा की दिशा कोसाइन खोजने में मदद करते हैं। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।
+दिक्-  अनुपात एक रेखा की दिक्-  कोज्या ज्ञात करने में सहायता करते हैं। दिक्-  कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण की कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण  <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्-  कोज्या क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
-दिशा अनुपात a, b, c वाले सदिश
+दिक्- अनुपात <math>a, b, c </math> वाले सदिश '''<math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>'''  के लिए दिक्-  कोज्या <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>  है।
-→A=a^i+b^j+c ^k के लिए दिशा कोसाइन Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ =
+दिक्-  कोज्या को <math>l, m, n</math>  द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिक्-  कोज्या को l<math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>  के रूप में दर्शाते हैं।
-b√a2+b2+c2,Cosγ =c√a2+b2+c2 है। दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को l =a√a2+b2+c2,m =b√a2+b2+c2, n =c√a2+b2+c2 के रूप में दर्शाते हैं।
+यहाँ हमl<math>l = Cos\alpha, m = Cos\beta, n = Cos\gamma</math> मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिक्- कोज्या के बीच संबंध <math>l^2 + m^2 + n^2 = 1 </math> है।
-यहाँ हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।
 == उदाहरण ==
-'''उदाहरण''' : बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।
+'''उदाहरण''' '''1''': बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोज्या ज्ञात करें।
 '''समाधान''':
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 रेखा का परिमाण <math>=\sqrt{(-4)^2+2^2+3^2)}=\sqrt{29}</math>
-इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
+इसलिए दिक्- कोज्या <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
-इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
+इसलिए दिक्- कोज्या <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
-उदाहरण 2: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिशा अनुपात ज्ञात करें →OA=4^i−3^j+2^k.
-समाधान:
+'''उदाहरण 2:''' किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिक्-  अनुपात ज्ञात करें  <math>\overrightarrow{OA}=4\overset{\frown}{i}-3\overset{\frown}{j}+2\overset{\frown}{k}</math>
-दिया गया सदिश है
+'''समाधान''':
-→OA=4^i−3^j+2^k.
+दिया गया सदिश  <math>\overrightarrow{OA}=4\overset{\frown}{i}-3\overset{\frown}{j}+2\overset{\frown}{k}</math>  है ।
-दिशा अनुपात = (4, -3, 2)
+दिक्- अनुपात<math>= (4, -3, 2)</math>
 [[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]