अदिश

सदिश बीजगणित में, अदिश वह राशि होती है जिसमें मात्र परिमाण या आकार होता है, जबकि सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

अदिश राशि वह राशि होती है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती। अदिश राशियाँ एक-आयामी होती हैं और इन्हें एक ही संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है।

परिभाषा

अदिश, एक भौतिक राशि जो पूरी तरह से अपने परिमाण द्वारा वर्णित होती है। अदिश के उदाहरण हैं आयतन, घनत्व, गति, ऊर्जा, द्रव्यमान और समय। अन्य राशियाँ, जैसे बल और वेग, में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और उन्हें सदिश कहा जाता है।

अदिश को वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया जाता है जो साधारणतः लेकिन अनिवार्य नहीं कि सकारात्मक हों। उदाहरण के लिए, किसी कण पर बल द्वारा किया गया कार्य एक ऋणात्मक संख्या होती है जब कण उस दिशा के विपरीत गति करता है जिसमें बल कार्य करता है, जैसे कि जब घर्षण बल किसी गतिमान पिंड को धीमा कर देता है। बीजगणित के सामान्य नियमों द्वारा अदिशों में विनिमय किया जा सकता है।

दो अदिशों का परिणाम सदैव अदिश होता है, लेकिन दो सदिशों का परिणाम या तो अदिश हो सकता है या सदिश।

"अदिश(स्केलर)" शब्द का आविष्कार 19वीं सदी में आयरिश गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन ने किया था। "सदिश(वेक्टर)" शब्द लैटिन से आया है और इसका अर्थ है "वाहक"।

रैखिक बीजगणित में, अदिश वास्तविक संख्याएं या किसी क्षेत्र के तत्व होते हैं।

किसी सदिश के अदिश गुणन को सदिश को खींचने या सिकोड़ने, या यदि अदिश ऋणात्मक है तो उसे विपरीत दिशा में पलटने के रूप में समझा जा सकता है।

अदिश में लंबाई, द्रव्यमान, आवेश, आयतन और समय उपस्थित हैं। सदिश में बल और वेग उपस्थित हैं।

अदिश राशि की परिभाषा

हम अदिश राशि को ऐसी भौतिक राशि के रूप में परिभाषित करते हैं जिसमें परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती। इसके अतिरिक्त , हम भौतिक राशियों को केवल उनके संख्यात्मक मान से, उनकी संबंधित इकाइयों के साथ, दिशाओं के बिना वर्णित कर सकते हैं।

इसके अतिरिक्त , इन भौतिक राशियों का योग बीजगणित के सरल नियमों का पालन करता है। तो, आप देखते हैं कि हम केवल उनके परिमाण जोड़ते हैं।

अदिश राशियों के उदाहरण

अदिश राशियों के बहुत सारे उदाहरण हैं, कुछ सबसे आम उदाहरणों में उपस्थित हैं:

• द्रव्यमान
• गति
• दूरी
• समय
• क्षेत्र
• आयतन
• घनत्व
• तापमान

अदिश गुणन

अदिश गुणनफल सदिशों पर गुणन संक्रिया है। दो सदिशों का अदिश गुणनफल सदिशों के संगत घटकों के गुणनफल का योग होता है। दूसरे शब्दों में, अदिश गुणनफल दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और उनके बीच के कोण के कोज्या(कोसाइन) के समान होता है। यह एक अदिश राशि है और इसे सदिशों का डॉट गुणनफल भी कहा जाता है।

अदिश गुणनफल दो या अधिक सदिशों के संगत घटकों का गुणनफल है। जैसा कि नाम से पता चलता है, अदिश गुणनफल एक अदिश राशि देता है, अर्थात परिणाम के रूप में एक वास्तविक संख्या। अदिश गुणनफल की गणना सदिशों के परिमाण और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल को लेकर भी की जा सकती है। अब, आइए दो और तीन सदिशों के लिए अदिश गुणन सूत्र देखें।

अदिश गुणनफल के लिए बीजगणितीय सूत्र

अब, जब हमने दो सदिशों के लिए उनके परिमाणों के संदर्भ में अदिश गुणनफल सूत्र को ज्ञात कर लिया है, तो आइए दो सदिशों के अदिश गुणनफल के लिए बीजगणितीय सूत्र देखें। यदि

${\overrightarrow {a}}=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]$ और ${\overrightarrow {b}}=[b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}],\ n$ घटकों वाले दो सदिश हैं, तो सदिश $a$ और $b$ का अदिश गुणनफल इस प्रकार दिया जाता है:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+...+a_{n}b_{n}$

अदिश गुणनफल के अनुप्रयोग

अदिश गुणनफल के सदिश सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें से कुछ इस प्रकार हैं:

सदिश का प्रक्षेपण: अदिश गुणनफल का उपयोग किसी सदिश के दूसरे सदिश पर प्रक्षेपण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सदिश $a$ का सदिश $b$ पर प्रक्षेपण $a.b/|b|$ द्वारा दिया जाता है। इसी प्रकार, सदिश $b$ का सदिश $a$ पर प्रक्षेपण $a.b/|a|$ द्वारा दिया जाता है।

अदिश त्रिगुण गुणनफल : अदिश गुणनफल का उपयोग तीन सदिशों के अदिश त्रिगुण गुणनफल की गणना में किया जाता है। अदिश त्रिगुण गुणनफल का सूत्र है $a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)=c\cdot (a\times b)$

दो सदिशों के बीच का कोण: अदिश गुणनफल का उपयोग सूत्र $cos\theta =(a.b)/(|a||b|)$ का उपयोग करके दो सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

अदिश गुणनफल पर युक्तियाँ और उपाय

• ${\overset {\frown }{i}}\cdot {\overset {\frown }{i}}={\overset {\frown }{j}}\cdot {\overset {\frown }{j}}={\overset {\frown }{k}}\cdot {\overset {\frown }{k}}=1$
• ${\overset {\frown }{i}}\cdot {\overset {\frown }{j}}={\overset {\frown }{j}}\cdot {\overset {\frown }{k}}={\overset {\frown }{k}}\cdot {\overset {\frown }{i}}=0$
• यदि $\theta =0$ तो $a.b=ab$ [दो सदिश एक ही दिशा में समान्तर हैं $\Rightarrow \theta =0$]।
• यदि $\theta =\pi ,a.b=-ab$ [दो सदिश विपरीत दिशा में समान्तर हैं $\Rightarrow \theta =\pi$]
• यदि $\theta =\pi /2,$ तो $a.b=0$ [दो सदिश हैं$\Rightarrow \theta =\pi /2$], अर्थात वे लम्बकोणीय हैं।