गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल: Difference between revisions

Latest revision as of 13:21, 10 October 2023

द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या $\alpha$ को द्विघात समीकरण^[1] $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ का मूल कहा जाता है , यदि $\alpha ^{2}+b\alpha +c=0$ होता है। हम यह भी कहते हैं कि $x=\alpha$ द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि

द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में जानते हैं ;

दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में परिवर्तित करें ।
$x^{2}$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
मध्य पद के गुणांक को चरण $2$ में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करें ।

इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$6x^{2}-x-2=0$

हम मध्य पद $-x$ का गुणनखंड $+3x-4x$ रूप में करेंगे , क्योंकि $(3x)\times (-4x)=-12x^{2}=(-2)\times 6x^{2}$

$6x^{2}+3x-4x-2=0$

$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$

$(3x-2)(2x+1)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(3x-2)=0$

$3x=2$

$x={\frac {2}{3}}$

$(2x+1)=0$

$2x=-1$

$x=-{\frac {1}{2}}$

अतः , द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x={\frac {2}{3}},-{\frac {1}{2}}$ हैं ।

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण $3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$ के मूल ज्ञात करें ।

हल

$3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$

हम मध्य पद $-2{\sqrt {6}}x$ का गुणनखंड $-{\sqrt {6}}x-{\sqrt {6}}x$ रूप में करेंगे , क्योंकि $(-{\sqrt {6}}x)\times (-{\sqrt {6}}x)=6x^{2}=2\times 3x^{2}$

$3x^{2}-{\sqrt {6}}x-{\sqrt {6}}x+2=0$

${\sqrt {3}}x({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

${\sqrt {3}}x={\sqrt {2}}$

$x={\sqrt {\frac {2}{3}}}$

$({\sqrt {3}}x-{\sqrt {2}})=0$

${\sqrt {3}}x={\sqrt {2}}$

$x={\sqrt {\frac {2}{3}}}$

अतः , द्विघात समीकरण $3x^{2}-2{\sqrt {6}}x+2=0$ के मूल $x={\sqrt {\frac {2}{3}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}}$ हैं ।

उदाहरण 3

दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल $483$ है ।

हल

मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं $x,x+2$ है ।

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है

$x(x+2)=483$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{2}+2x=483$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}+2x-483=0$

मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,

$x^{2}+23x-21x-483=0$

$x(x+23)-21(x+23)=0$

$(x+23)(x-21)=0$

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर करने पर ,

$(x+23)=0$

$x=-23$ [ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]

$(x-21)=0$

$x=21$

अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं $21,23$ है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल $483$ है ।

अभ्यास प्रश्न

द्विघात समीकरण $2x^{2}-x+{\frac {1}{8}}=0$ के मूल ज्ञात करें ।
द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल ज्ञात करें ।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग $365$ है ।

संदर्भ

↑ MATHEMATICS(NCERT) (REVISED ed.). pp. 42–44.

[1] MATHEMATICS(NCERT) (REVISED ed.). pp. 42–44.

[1]

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+[[Category:द्विघात समीकरण]]
 [[Category:गणित]]
-[[Category:बीजगणित]]
+[[Category:कक्षा-10]]
-[[Category:समीकरण]]
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-[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category: कक्षा-10]]
+द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ;  गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या  <math>\alpha</math>  को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS(NCERT) |edition=REVISED |pages=42-44}}</ref>  <math>ax^2+bx+c=0</math>  ,  <math>a\neq0</math>  का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है।  हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math>  द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math>  का मूल समान होता हैं।  किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।
+== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==
+द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख  क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में  जानते हैं ;
+# दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  में परिवर्तित करें ।
+# <math>x^2</math> के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
+# मध्य पद के गुणांक को चरण <math>2</math> में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
+# प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करें ।
+इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।
+== उदाहरण 1 ==
+द्विघात समीकरण <math>6x^2-x-2=0</math>  के मूल ज्ञात करें ।
+हल
+<math>6x^2-x-2=0</math>
+हम मध्य पद <math>-x</math> का गुणनखंड <math>+3x-4x</math>  रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(3x)\times(-4x) = -12x^2 = (-2)\times 6x^2</math>
+<math>6x^2+3x-4x-2=0</math>
+<math>3x(2x+1)-2(2x+1)=0</math>
+<math>(3x-2)(2x+1)=0</math>
+प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,
+<math>(3x-2)=0</math>
+<math>3x=2</math>
+<math>x=\frac{2}{3}</math>
+<math>(2x+1)=0</math>
+<math>2x=-1</math>
+<math>x=-\frac{1}{2}</math>
+अतः , द्विघात समीकरण <math>6x^2-x-2=0</math>  के मूल  <math>x=\frac{2}{3} ,-\frac{1}{2}</math>  हैं ।
+== उदाहरण 2 ==
+द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>  के मूल ज्ञात करें ।
+हल
+<math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>
+हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math>  का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math>  रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math>
+<math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math>
+<math>\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>
+<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>
+प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,
+<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>
+<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math>
+<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math>
+<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>
+<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math>
+<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math>
+अतः , द्विघात समीकरण   <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>  के मूल  <math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}</math>  हैं ।
+== उदाहरण 3 ==
+दो क्रमागत धनात्मक  विषम  संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल <math>483</math>  है ।
+हल
+मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं  <math>x,x+2</math> है  ।
+प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है
+<math>x(x+2)=483</math>
+उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
+<math>x^2+2x=483</math>
+सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
+<math>x^2+2x-483=0</math>
+मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,
+<math>x^2+23x-21x-483=0</math>
+<math>x(x+23)-21(x+23)=0</math>
+<math>(x+23)(x-21)=0</math>
+प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,
+<math>(x+23)=0</math>
+<math>x=-23</math>  [ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]
+<math>(x-21)=0</math>
+<math>x=21</math>
+अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं  <math>21,23</math>   है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है )  जिनका गुणनफल <math>483</math> है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math>  के मूल ज्ञात करें ।
+# द्विघात समीकरण <math>x^2-3x-10=0</math>  के मूल ज्ञात करें ।
+# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है  ।
+== संदर्भ ==