प्रतिस्थापन विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 19:59, 26 September 2024

दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल विधियों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है ।

प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण

प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण^[1] निम्नलिखित है ;

चरण 1

दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए $y$ ) का मान दूसरे चर ( मान लीजिए $x$ ) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।

चरण 2

चरण $1$ में हमें जो $y$ का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण $x$ के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।

चरण 3

चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।

चरण 4

चरण $3$ में प्राप्त $x$ के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर $y$ का मान प्राप्त हो जाए ।

इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।

उदाहरण 1

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$7x-15y=2$

$x+2y=3$

हल

दी गई समीकरण ,

$7x-15y=2$ $....................(1)$

$x+2y=3$ $......................(2)$

समीकरण $(2)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$x+2y=3$

$x=3-2y$ $....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(1)$ में रखकर हल करने पर ,

$7x-15y=2$

$7(3-2y)-15y=2$ ( समीकरण $(3)$ से $x=3-2y$ )

$21-14y-15y=2$

$21-29y=2$

$21-2=29y$

$19=29y$

$y={\frac {19}{29}}$

$y$ के प्राप्त मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर ,

$x=3-2y$

$x=3-2\left({\frac {19}{29}}\right)$

$x=3-{\frac {38}{29}}$

$x={\frac {87-38}{29}}$

$x={\frac {49}{29}}$

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल $x={\frac {49}{29}}$ , $y={\frac {19}{29}}$ है ।

उदाहरण 2

$2$ टॉफ़ी और $3$ पेंसिल का मूल्य ₹ $9$ है और $4$ टॉफ़ी और $6$ पेंसिल का मूल्य ₹ $18$ है । प्रत्येक टॉफ़ी और पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि प्रत्येक टॉफी की कीमत $x$ है और प्रत्येक पेंसिल की कीमत $y$ है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,

$2x+3y=9$ $....................(1)$

$4x+6y=18$ $......................(2)$

समीकरण $(1)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$2x+3y=9$

$2x=9-3y$

$x={\frac {9-3y}{2}}$ $....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(2)$ में रखकर हल करने पर ,

$4x+6y=18$

$4\left({\frac {9-3y}{2}}\right)+6y=18$

$\left({\frac {36-12y}{2}}\right)+6y=18$

$\left({\frac {36-12y+12y}{2}}\right)=18$

$\left({\frac {36}{2}}\right)=18$

$18=18$ यह कथन $y$ के सभी मानों के लिए सत्य है ।

अतः , हमें $y$ का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम $x$ का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण $(1)$ और $(2)$ के अनंत रूप से कई हल होगे ।

उदाहरण 3

दो संख्याओं का अंतर $26$ है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर $26$ है ,

$x-y=26$ $............(1)$

प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,

$x=3y$

$x-3y=0$ $............(2)$

समीकरण $(2)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$x-3y=0$

$x=3y$ $....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(1)$ में रखकर हल करने पर ,

$x-y=26$

$3y-y=26$ ( समीकरण $(3)$ से $x=3y$ )

$2y=26$

$y={\frac {26}{2}}$

$y=13$

$y$ के प्राप्त मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर ,

$x=3y$

$x=3\times 13$

$x=39$

अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं $13,39$ हैं ।

अभ्यास प्रश्न

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : $0.2x+0.3y=1.3$ , $0.4x+0.5y=2.3$

संदर्भ

↑ MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 30–33.

[1] MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 30–33.

[1]

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-[[Category:गणित]]
+[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
-[[Category:बीजगणित]]
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल विधियों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है ।
+== प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण ==
+प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT) |edition=Revised |pages=30-33}}</ref> निम्नलिखित है ;
+=== चरण 1 ===
+दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए <math>y</math> ) का मान दूसरे चर  ( मान लीजिए <math>x</math> ) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।
+=== चरण 2 ===
+चरण <math>1</math> में हमें जो <math>y</math> का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण <math>x</math> के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।
+=== चरण 3 ===
+चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।
+=== चरण 4 ===
+चरण <math>3</math> में प्राप्त <math>x</math>  के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर <math>y</math> का मान प्राप्त हो जाए ।
+इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।
+== उदाहरण 1 ==
+प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :
+<math>7x-15y=2</math>
+<math>x+2y=3</math>
+हल
+दी गई  समीकरण ,
+<math>7x-15y=2</math> <math>....................(1)</math>
+<math>x+2y=3</math> <math>......................(2)</math>
+समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,
+<math>x+2y=3</math>
+<math>x=3-2y</math> <math>....................(3)</math>
+समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,
+<math>7x-15y=2</math>
+<math>7(3-2y)-15y=2</math>               ( समीकरण  <math>(3)</math> से <math>x=3-2y</math> )
+<math>21-14y-15y=2</math>
+<math>21-29y=2</math>
+<math>21-2=29y</math>
+<math>19=29y</math>
+<math>y=\frac{19}{29}</math>
+<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण  <math>(3)</math> में रखने पर ,
+<math>x=3-2y</math>
+<math>x=3-2\left ( \frac{19}{29} \right )</math>
+<math>x=3-\frac{38}{29}</math>
+<math>x=\frac{87-38}{29}</math>
+<math>x=\frac{49}{29}</math>
+अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल <math>x=\frac{49}{29}</math> , <math>y=\frac{19}{29}</math>  है ।
+== उदाहरण 2 ==
+<math>2</math> टॉफ़ी और <math>3</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>9</math> है और <math>4</math> टॉफ़ी और <math>6</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>18</math> है । प्रत्येक टॉफ़ी और पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
+हल
+माना कि प्रत्येक टॉफी की कीमत <math>x</math> है और प्रत्येक पेंसिल की कीमत <math>y</math> है ,
+प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,
+<math>2x+3y=9</math> <math>....................(1)</math>
+<math>4x+6y=18</math> <math>......................(2)</math>
+समीकरण <math>(1)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,
+<math>2x+3y=9</math>
+<math>2x=9-3y</math>
+<math>x=\frac{9-3y}{2}</math><math>....................(3)</math>
+समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(2)</math> में रखकर हल करने पर ,
+<math>4x+6y=18</math>
+<math>4\left ( \frac{9-3y}{2} \right )+6y=18</math>
+<math>\left ( \frac{36-12y}{2} \right )+6y=18</math>
+<math>\left ( \frac{36-12y+12y}{2} \right )=18</math>
+<math>\left ( \frac{36}{2} \right )=18</math>
+<math>18=18</math> यह कथन <math>y</math> के सभी मानों के लिए सत्य है ।
+अतः , हमें <math>y</math> का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम <math>x</math> का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण <math>(1)</math> और <math>(2)</math> के अनंत रूप से कई  हल होगे ।
+== उदाहरण 3 ==
+दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
+हल
+माना कि दो संख्याएँ <math>x</math> और <math>y</math>  हैं  ,
+प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है ,
+<math>x-y=26</math> <math>............(1)</math>
+प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,
+<math>x=3y</math>
+<math>x-3y=0</math> <math>............(2)</math>
+समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,
+<math>x-3y=0</math>
+<math>x=3y</math> <math>....................(3)</math>
+समीकरण  <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math>  के  मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,
+<math>x-y=26</math>
+<math>3y-y=26</math>    ( समीकरण  <math>(3)</math> से <math>x=3y</math>  )
+<math>2y=26</math>
+<math>y=\frac{26}{2}</math>
+<math>y=13</math>
+<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण  <math>(3)</math> में रखने पर ,
+<math>x=3y</math>
+<math>x=3\times 13</math>
+<math>x=39</math>
+अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं  <math>13,39</math> हैं ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : <math>0.2x+0.3y=1.3</math>   ,   <math>0.4x+0.5y=2.3</math>
+== संदर्भ ==