दो चरों में रैखिक समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 19:58, 26 September 2024

कोई भी समीकरण जिसे हम $ax+by+c=0$ के रूप में लिख सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं और $a\neq 0,b\neq 0$ है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे ।

उदाहरण

$9x+6y=89$
$5s-2(4t)=76$
$81y+4(3-32z)=90$

उपयुक्त उदाहरणो में समीकरणों में दो चर है तथा दोनों की घात एक है , अतः यह दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का उदाहरण है ।

दो चरों में रैखिक समीकरण के गुण

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के गुण निम्नलिखित है ;

दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं ।
दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है ।
दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है ।

उदाहरण 1

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखें और $a,b$ और $c$ के मान ज्ञात करें^[1] ।

$8x+3y=786$
$x-4={\sqrt {7}}y$
$2x=y$
$y=2$
$x=-10$

हल

1) समीकरण $8x+3y=786$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$8x+3y-786=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=8$ , $b=3$ , $c=-786$

2) समीकरण $x-4={\sqrt {7}}y$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$x-{\sqrt {7}}y-4=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=1$ , $b=-{\sqrt {7}}$ , $c=-4$

3) समीकरण $2x=y$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$2x-y+0c=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=2$ , $b=-1$ , $c=0$

4) समीकरण $y=2$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$0x+1y-2=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=0$ , $b=1$ , $c=-2$

5) समीकरण $x=-10$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$1x+0y+10=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=1$ , $b=0$ , $c=10$

उदाहरण 2

एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से $4$ गुना है । इस कथन को दर्शाने के लिए दो चर में एक रैखिक समीकरण लिखें ।

हल

माना कि कुर्सी की कीमत $x$ है , और माना मेज की कीमत $y$ है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से $4$ गुना है ;

$y=4x$

व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

$4x-y=0$

अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण $4x-y=0$ होगा ।

उदाहरण 3

दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए हल ज्ञात कीजिये ।

$4x+3y=12$

हल

दी गई समीकरण ,

$4x+3y=12$

पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,

समीकरण में $x=0$ रखने पर ,

$4x+3y=12$

$4\times 0+3y=12$

$3y=12$

$y={\frac {12}{3}}$

$y=4$

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ का पहला हल $x=0$ , $y=4$ होगा ।

दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान $1$ रखेंगे ,

समीकरण में $x=1$ रखने पर ,

$4x+3y=12$

$4\times 1+3y=12$

$4+3y=12$

$3y=12-4$

$3y=8$

$y={\frac {8}{3}}$

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ का दूसरा हल $x=1$ , $y={\frac {8}{3}}$ होगा ।

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ के हल $(0,4)$ एवं $(1,{\frac {8}{3}})$ होंगे । इसी प्रकार हम $x$ के विभिन्न मान के लिए $y$ के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं ।

संदर्भ

↑ MATHEMATICS ( NCERT 9) (Revised ed.). pp. 55–58.

[1] MATHEMATICS ( NCERT 9) (Revised ed.). pp. 55–58.

[1]

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+[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+कोई भी समीकरण जिसे हम <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिख सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0 ,b\neq0</math> है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है  ।  जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे ।
-[[Category:बीजगणित]]
+=== उदाहरण ===
-[[Category:समीकरण]][[Category:गणित]]
+# <math>9x+6y=89</math>
+# <math>5s-2(4t)=76</math>
+# <math>81y+4(3-32z)=90</math>
+उपयुक्त उदाहरणो में समीकरणों में दो चर है तथा दोनों की घात एक है , अतः यह दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का उदाहरण है  ।
+== दो चरों में रैखिक समीकरण के गुण ==
+दो चरों वाले रैखिक समीकरणों  के गुण निम्नलिखित है ;
+# दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं ।
+# दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है ।
+# दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है ।
+== उदाहरण 1 ==
+निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखें और <math>a,b</math> और <math>c</math> के मान ज्ञात करें<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT 9) |edition=Revised |pages=55-58}}</ref>  ।
+# <math>8x+3y=786</math>
+# <math>x-4=\sqrt{7}y</math>
+# <math>2x=y</math>
+# <math>y=2</math>
+# <math>x=-10</math>
+हल
+) समीकरण <math>8x+3y=786</math> को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखने पर ,
+<math>8x+3y-786=0</math>
+दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,
+<math>a=8</math> ,  <math>b=3</math> , <math>c=-786</math>
+) समीकरण <math>x-4=\sqrt{7}y</math> को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखने पर ,
+<math>x-\sqrt{7}y-4=0</math>
+दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,
+<math>a=1</math> ,  <math>b=-\sqrt{7}</math> , <math>c=-4</math>
+) समीकरण <math>2x=y</math>  को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखने पर ,
+<math>2x-y+0c=0</math>
+दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,
+<math>a=2</math> ,  <math>b=-1</math> , <math>c=0</math>
+) समीकरण <math>y=2</math>  को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखने पर ,
+<math>0x+1y-2=0</math>
+दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,
+<math>a=0</math> ,  <math>b=1</math> , <math>c=-2</math>
+) समीकरण <math>x=-10</math>  को <math>ax+by+c=0</math>  के रूप में लिखने पर ,
+<math>1x+0y+10=0</math>
+दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,
+<math>a=1</math> ,  <math>b=0</math> , <math>c=10</math>
+== उदाहरण 2 ==
+एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से <math>4</math> गुना है । इस कथन को दर्शाने के लिए दो चर में एक रैखिक समीकरण लिखें  ।
+हल
+माना कि कुर्सी की कीमत <math>x</math>  है , और माना मेज की कीमत  <math>y</math>  है ,
+प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से <math>4</math> गुना है ;
+<math>y=4x</math>
+व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,
+<math>4x-y=0</math>
+अतः ,  दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण <math>4x-y=0</math> होगा ।
+== उदाहरण 3 ==
+दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए  हल ज्ञात कीजिये ।
+<math>4x + 3y = 12</math>
+हल
+दी गई समीकरण ,
+<math>4x + 3y = 12</math>
+पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,
+समीकरण में <math>x=0</math> रखने पर ,
+<math>4x + 3y = 12</math>
+<math>4\times 0 + 3y = 12</math>
+<math>3y = 12</math>
+<math>y =\frac{ 12}{3}</math>
+<math>y =4</math>
+अतः ,  समीकरण  <math>4x + 3y = 12</math> का पहला हल  <math>x=0</math> , <math>y =4</math> होगा ।
+दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान  <math>1</math> रखेंगे ,
+समीकरण में <math>x=1</math> रखने पर ,
+<math>4x + 3y = 12</math>
+<math>4\times 1 + 3y = 12</math>
+<math>4+3y = 12</math>
+<math>3y =12-4</math>
+<math>3y =8</math>
+<math>y =\frac{8}{3}</math>
+अतः ,  समीकरण  <math>4x + 3y = 12</math> का दूसरा हल <math>x=1</math> , <math>y =\frac{8}{3}</math> होगा ।
+अतः ,  समीकरण  <math>4x + 3y = 12</math> के  हल <math>(0,4)</math> एवं <math>(1, \frac{8}{3})</math> होंगे । इसी प्रकार हम <math>x</math> के विभिन्न मान के लिए <math>y</math> के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं ।
+== संदर्भ ==