दो चरों में रैखिक समीकरण

कोई भी समीकरण जिसे हम $ax+by+c=0$ के रूप में लिख सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं और $a\neq 0,b\neq 0$ है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे ।

उदाहरण

1. $9x+6y=89$
2. $5s-2(4t)=76$
3. $81y+4(3-32z)=90$

उपयुक्त उदाहरणो में समीकरणों में दो चर है तथा दोनों की घात एक है , अतः यह दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का उदाहरण है ।

दो चरों में रैखिक समीकरण के गुण

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के गुण निम्नलिखित है ;

1. दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं ।
2. दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है ।
3. दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है ।

उदाहरण 1

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखें और $a,b$ और $c$ के मान ज्ञात करें ।

1. $8x+3y=786$
2. $x-4={\sqrt {7}}y$
3. $2x=y$
4. $y=2$
5. $x=-10$

हल

1) समीकरण $8x+3y=786$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$8x+3y-786=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=8$ , $b=3$ , $c=-786$

2) समीकरण $x-4={\sqrt {7}}y$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$x-{\sqrt {7}}y-4=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=1$ , $b=-{\sqrt {7}}$ , $c=-4$

3) समीकरण $2x=y$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$2x-y+0c=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=2$ , $b=-1$ , $c=0$

4) समीकरण $y=2$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$0x+1y-2=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=0$ , $b=1$ , $c=-2$

5) समीकरण $x=-10$ को $ax+by+c=0$ के रूप में लिखने पर ,

$1x+0y+10=0$

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $ax+by+c=0$ से तुलना करने पर ,

$a=1$ , $b=0$ , $c=10$

उदाहरण 2

एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से $4$ गुना है । इस कथन को दर्शाने के लिए दो चर में एक रैखिक समीकरण लिखें ।

हल

माना कि कुर्सी की कीमत $x$ है , और माना मेज की कीमत $y$ है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से $4$ गुना है ;

$y=4x$

व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

$4x-y=0$

अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण $4x-y=0$ होगा ।

उदाहरण 3

दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए हल ज्ञात कीजिये ।

$4x+3y=12$

हल

दी गई समीकरण ,

$4x+3y=12$

पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,

समीकरण में $x=0$ रखने पर ,

$4x+3y=12$

$4\times 0+3y=12$

$3y=12$

$y={\frac {12}{3}}$

$y=4$

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ का पहला हल $x=0$ , $y=4$ होगा ।

दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान  $1$ रखेंगे ,

समीकरण में $x=1$ रखने पर ,

$4x+3y=12$

$4\times 1+3y=12$

$4+3y=12$

$3y=12-4$

$3y=8$

$y={\frac {8}{3}}$

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ का दूसरा हल $x=1$ , $y={\frac {8}{3}}$ होगा ।

अतः , समीकरण $4x+3y=12$ के हल $(0,4)$ एवं $(1,{\frac {8}{3}})$ होंगे । इसी प्रकार हम $x$ के विभिन्न मान के लिए $y$ के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं ।