मूलों की प्रकृति: Difference between revisions

Latest revision as of 13:21, 10 October 2023

ऐसा समीकरण , जिन्हें हम $ax^{2}+bx+c=0$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं एवं $a\neq 0$ , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में $x$ का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति

द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल ^[1]निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

यदि ${b^{2}-4ac}>0$ , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल $-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ और $-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ मिलते हैं ।

यदि ${b^{2}-4ac}=0$ , हमें दो समान वास्तविक मूल $-{\frac {b}{2a}}$ और $-{\frac {b}{2a}}$ मिलते हैं ।

यदि ${b^{2}-4ac}<0$ , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।

अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक ${b^{2}-4ac}$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम $D=b^{2}-4ac$ से निरूपित करते हैं ।

एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;

दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि ${b^{2}-4ac}>0$
दो समान वास्तविक मूल ; यदि ${b^{2}-4ac}=0$
कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि ${b^{2}-4ac}<0$

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।

हल

दिए गए समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर , हमें $a=2,b=-4,c=-3$ प्राप्त होता है ।

विविक्तकर $D=b^{2}-4ac$ का मान ज्ञात करने पर,

$D=(-4)^{2}-4\times 2\times (-3)$

$D=16-(-24)$

$D=16+24$

$D=40$

हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर $D=40$ अर्थात $D>0$ हैं ।

अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।

उदाहरण 2

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण $2x^{2}+kx+3=0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

हल

दिए गए समीकरण $2x^{2}+kx+3=0$ की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर , हमें $a=2,b=k,c=3$ प्राप्त होता है ।

हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि ${b^{2}-4ac}=0$ ; अर्थात $D=0$

${b^{2}-4ac}=0$ मे रखने पर ,

$(k)^{2}-4\times 2\times 3=0$

$k^{2}-24=0$

$k^{2}=24$

$k=\pm {\sqrt {24}}$

$k=\pm 2{\sqrt {6}}$

अतः , $k$ का मान $\pm 2{\sqrt {6}}$ होगा ।

अभ्यास प्रश्न

द्विघात समीकरण $3x^{2}-4{\sqrt {3}}x+4=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण $kx(x-1)+5=0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

संदर्भ

↑ MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 44–47.

[1] MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 44–47.

[1]

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-[[Category:बीजगणित]]
+[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-[[Category:समीकरण]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
-[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]]
+ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में  निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।
+== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==
+द्विघात समीकरण  <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूल <ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT) |edition=Revised |pages=44-47}}</ref>निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;
+<math>x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
+यदि <math>{b^2-4ac}>0</math> , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल <math>-\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> और   <math>-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> मिलते हैं ।
+यदि  <math>{b^2-4ac}=0</math> , हमें दो समान वास्तविक मूल  <math>-\frac{b}{2a} </math> और  <math>-\frac{b}{2a} </math>  मिलते हैं ।
+यदि <math>{b^2-4ac}<0</math> , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।
+अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक <math>{b^2-4ac}</math>  द्विघात समीकरण  <math>ax^2+bx+c=0</math>  के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम  विविक्तकर कहते हैं । इसको हम <math>D=b^2-4ac</math>  से निरूपित करते हैं ।
+एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;
+# दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि <math>{b^2-4ac}>0</math>
+# दो समान वास्तविक मूल ; यदि  <math>{b^2-4ac}=0</math>
+# कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि <math>{b^2-4ac}<0</math>
+== उदाहरण 1 ==
+द्विघात समीकरण  <math>2x^2-4x-3=0</math>  के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
+हल
+दिए  गए  समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math>  की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=-4, c=-3</math> प्राप्त होता है  ।
+विविक्तकर <math>D=b^2-4ac</math> का मान ज्ञात करने पर,
+<math>D=(-4)^2-4\times 2 \times (-3)</math>
+<math>D=16-(-24)</math>
+<math>D=16+24</math>
+<math>D=40</math>
+हमें ज्ञात हुआ कि  विविक्तकर <math>D=40</math> अर्थात <math>D>0</math> हैं ।
+अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण  <math>2x^2-4x-3=0</math>   के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।
+== उदाहरण 2 ==
+<math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण  <math>2x^2+kx+3=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं ।
+हल
+दिए गए  समीकरण  <math>2x^2+kx+3=0</math>  की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=k, c=3</math> प्राप्त होता है  ।
+हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल  होते हैं ,  यदि  <math>{b^2-4ac}=0</math> ; अर्थात <math>D=0</math>
+<math>{b^2-4ac}=0</math> मे  रखने पर ,
+<math>(k)^2-4\times2\times3=0</math>
+<math>k^2-24=0</math>
+<math>k^2=24</math>
+<math>k=\pm\sqrt{24}</math>
+<math>k= \pm 2\sqrt{6}
+</math>
+अतः , <math>k</math> का  मान  <math> \pm 2\sqrt{6}
+</math> होगा ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# द्विघात समीकरण  <math>3x^2-4\sqrt{3}x+4=0</math>  के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
+# <math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण  <math>kx(x-1)+5=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं ।
+== संदर्भ ==