गुणोत्तर श्रेढ़ी

गुणोत्तर श्रेढ़ी वह श्रेढ़ी है , जिसमें प्रत्येक पद एक सार्व अनुपात द्वारा दूसरे से भिन्न होता है । श्रेढ़ी का अगला पद तब निर्मित होता है , जब हम किसी गैर-शून्य स्थिरांक को पिछले पद से गुणा करते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता हैं :

$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},......ar^{n-1}$

जहाँ ,

$a=$पहला पद है ।

$r=$ सार्व अनुपात है ।

$ar^{n-1}=$ $n$वाँ पद

उदाहरण

1. $1,2,4,8,16,............$
2. $3,9,27,81,............$

गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुण

गुणोत्तर श्रेढ़ी के महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं :

1. यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद को गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा या विभाजित किया जाता है , तो परिणामी श्रेढ़ी भी समान सार्व अनुपात वाला एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है ।
2. दो गुणोत्तर श्रेढ़ी का गुणनफल और भागफल एक गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है ।
3. यदि तीन गैर-शून्य पद $a,b,c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं , तो $b^{2}=ac$ होता है ।
4. एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में तीन लगातार पदों को ${\frac {a}{r}},a,ar$ के रूप में लिया जा सकता है ।

गुणोत्तर श्रेढ़ी का सर्वनिष्ठ पद या nवाँ पद

मान लीजिए कि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के लिए $a$ पहला पद है और $r$ सार्व अनुपात है ।

दूसरा पद $a_{2}=a\times r=ar$

तीसरा पद

$a_{3}=a_{2}\times r$

$a_{3}=ar\times r=ar^{2}$

इसी प्रकार,

$n$वाँ पद $a_{n}=ar^{n-1}$

गुणोत्तर श्रेढ़ी का सर्वनिष्ठ पद या $n$वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $ar^{n-1}$ है ।

गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग

मान लीजिए $a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},......ar^{n-1}$ दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है।

गुणोत्तर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+......+ar^{n-1}$

गुणोत्तर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है :

जब , $r>1$ है तो :

$S_{n}=a\left[{\frac {r^{n}-1}{r-1}}\right]$

जब , $r<1$ है तो :

$S_{n}=a\left[{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right]$

जहाँ ,

$a=$पहला पद

$r=$ सार्व अनुपात

$n=$पदों की संख्या है ।

यदि सार्व अनुपात $1$ के बराबर है , तो गुणोत्तर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग इस प्रकार दिया जाता है :

$S_{n}=na$

जहाँ ,

$a=$पहला पद

$n=$पदों की संख्या है ।

उदाहरण 1

यदि $2,4,8,..........$ गुणोत्तर श्रेढ़ी है , तो इसका $10$वाँ पद ज्ञात कीजिए ।

हल

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी ,

$2,4,8,..........$

पहला पद $a=2$

सार्व अनुपात $r=$ दूसरा पद / पहला पद

$r={\frac {4}{2}}$

$r=2$

$n$वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $=ar^{n-1}$

$10$वाँ पद $=ar^{10-1}$ ( $n=10$ )

मान रखने पर ,

$10$वाँ पद $=2\times 2^{10-1}$

$=2\times 2^{9}$

$=2\times 512$ ( $2^{9}=512$ )

$=1024$

अतः , दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी का $10$वाँ पद $1024$ होगा ।

उदाहरण 2

सूत्र का उपयोग करके गुणोत्तर श्रेढ़ी $10,30,90,270,810$ का योग ज्ञात करें ।

हल

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी ,

$10,30,90,270,810$

पहला पद $a=10$

सार्व अनुपात $r=$ दूसरा पद / पहला पद

$r={\frac {30}{10}}$

$r=3$

पदों की संख्या $n=5$

क्योकि $r=3$ $(3>1)$ है , तो गुणोत्तर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र ,

$S_{n}=a\left[{\frac {r^{n}-1}{r-1}}\right]$

मान रखने पर ,

$S_{n}=$$10\left[{\frac {3^{5}-1}{3-1}}\right]$

$S_{n}=$$10\left[{\frac {243-1}{2}}\right]$ ( $3^{5}=243$ )

$S_{n}=$$10\left[{\frac {242}{2}}\right]$

$S_{n}=$$10\times 121$

$S_{n}=$$1210$

अतः , दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी $10,30,90,270,810$ का योग $1210$ है ।