दो चरों में रैखिक समीकरण: Difference between revisions
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कोई भी समीकरण जिसे हम <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिख सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0 ,b\neq0</math> है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे । | |||
कोई भी समीकरण जिसे हम <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिख सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math>वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0 ,b\neq0</math> है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे । | |||
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# दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं । | # दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं । | ||
# दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का | # दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है । | ||
# दो चर में रैखिक समीकरण के | # दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है । | ||
== उदाहरण 1 == | == उदाहरण 1 == | ||
निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखें और <math>a,b</math> और <math>c</math> के मान ज्ञात करें<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT 9) |edition=Revised |pages=55- | निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखें और <math>a,b</math> और <math>c</math> के मान ज्ञात करें<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT 9) |edition=Revised |pages=55-58}}</ref> । | ||
# <math>8x+3y=786</math> | # <math>8x+3y=786</math> | ||
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अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण <math>4x-y=0</math> होगा । | अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण <math>4x-y=0</math> होगा । | ||
== उदाहरण 3 == | |||
दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए हल ज्ञात कीजिये । | |||
<math>4x + 3y = 12</math> | |||
हल | |||
दी गई समीकरण , | |||
<math>4x + 3y = 12</math> | |||
पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे , | |||
समीकरण में <math>x=0</math> रखने पर , | |||
<math>4x + 3y = 12</math> | |||
<math>4\times 0 + 3y = 12</math> | |||
<math>3y = 12</math> | |||
<math>y =\frac{ 12}{3}</math> | |||
<math>y =4</math> | |||
अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> का पहला हल <math>x=0</math> , <math>y =4</math> होगा । | |||
दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान <math>1</math> रखेंगे , | |||
समीकरण में <math>x=1</math> रखने पर , | |||
<math>4x + 3y = 12</math> | |||
<math>4\times 1 + 3y = 12</math> | |||
<math>4+3y = 12</math> | |||
<math>3y =12-4</math> | |||
<math>3y =8</math> | |||
<math>y =\frac{8}{3}</math> | |||
अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> का दूसरा हल <math>x=1</math> , <math>y =\frac{8}{3}</math> होगा । | |||
अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> के हल <math>(0,4)</math> एवं <math>(1, \frac{8}{3})</math> होंगे । इसी प्रकार हम <math>x</math> के विभिन्न मान के लिए <math>y</math> के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं । | |||
== संदर्भ == | == संदर्भ == |
Latest revision as of 19:58, 26 September 2024
कोई भी समीकरण जिसे हम के रूप में लिख सकते हैं , जहां वास्तविक संख्याएं हैं और है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे ।
उदाहरण
उपयुक्त उदाहरणो में समीकरणों में दो चर है तथा दोनों की घात एक है , अतः यह दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का उदाहरण है ।
दो चरों में रैखिक समीकरण के गुण
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के गुण निम्नलिखित है ;
- दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं ।
- दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है ।
- दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है ।
उदाहरण 1
निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को के रूप में लिखें और और के मान ज्ञात करें[1] ।
हल
1) समीकरण को के रूप में लिखने पर ,
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप से तुलना करने पर ,
, ,
2) समीकरण को के रूप में लिखने पर ,
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप से तुलना करने पर ,
, ,
3) समीकरण को के रूप में लिखने पर ,
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप से तुलना करने पर ,
, ,
4) समीकरण को के रूप में लिखने पर ,
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप से तुलना करने पर ,
, ,
5) समीकरण को के रूप में लिखने पर ,
दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप से तुलना करने पर ,
, ,
उदाहरण 2
एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से गुना है । इस कथन को दर्शाने के लिए दो चर में एक रैखिक समीकरण लिखें ।
हल
माना कि कुर्सी की कीमत है , और माना मेज की कीमत है ,
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से गुना है ;
व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,
अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण होगा ।
उदाहरण 3
दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए हल ज्ञात कीजिये ।
हल
दी गई समीकरण ,
पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,
समीकरण में रखने पर ,
अतः , समीकरण का पहला हल , होगा ।
दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,
समीकरण में रखने पर ,
अतः , समीकरण का दूसरा हल , होगा ।
अतः , समीकरण के हल एवं होंगे । इसी प्रकार हम के विभिन्न मान के लिए के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं ।
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS ( NCERT 9) (Revised ed.). pp. 55–58.