रैखिक समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:02, 5 November 2024

रेखीय समीकरण क्या है?

वह समीकरण जिसकी उच्चतम घात $1$ होती है, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण में किसी भी चर का घातांक $1$ इससे अधिक नहीं होता है। एक रेखीय समीकरण का ग्राफ सदैव एक सीधी रेखा बनाता है।

रेखीय समीकरण परिभाषा: रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात सदैव $1$ होती है। इसे एक-घातीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण और दो चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से रैखिक समीकरणों और अरैखिक समीकरणों की पहचान करना सीखें।

Equations	Linear or Non-Linear
$y=8x-9$	रैखिक
$y=x^{2}-7$	अरैखिक, चर $x$ की घात 2 है
${\sqrt {y}}+x=6$	अरैखिक, चर $y$ की घात 1/2 है
$y+3x-1=0$	रैखिक
$y^{2}-x=9$	अरैखिक, चर $y$ की घात 2 है

मानक रूप में रैखिक समीकरण

एक चर में रैखिक समीकरणों का मानक रूप या सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है, $ax+b=0$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ एकल चर है।

दो चरों में रैखिक समीकरणों का मानक रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है, $ax+by+c=0$ जहाँ $a$ , $b$ और $c$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ और $y$ चर हैं।

चित्र .1

एक चर वाले रैखिक समीकरण

एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक चर उपस्थित होता है। यह $ax+b=0$ , के रूप का होता है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं और $x$ एक अज्ञात चर है जिसका मात्र एक हल है। यह गणितीय कथन को दर्शाने का सबसे आसान उपाय है। इस समीकरण की एक घात होती है जो सदैव $1$ के समान होती है। . एक चर में रैखिक समीकरण को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। अज्ञात चर का मान प्राप्त करने के लिए, चरों को अलग करके समीकरण के एक तरफ लाया जाता है और स्थिरांकों को जोड़कर समीकरण के दूसरी तरफ लाया जाता है।

उदाहरण: एक चर में रैखिक समीकरण हल करें: $3x+6=18$ .

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम संख्याओं को समीकरण के दाईं ओर लाते हैं और चर को बाईं ओर रखते हैं।इसका अर्थ है, $3x=18-6$ । फिर, जैसा कि हम हल करते हैं $x$ , हमें प्राप्त होता है $3x=12$ । अंततः, $x={\frac {12}{3}}=4$ का मान होगा।

दो चर वाले रैखिक समीकरण

दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax+by+c=0$ के रूप का होता है, जिसमें वास्तविक संख्याएँ $a$ , $b$ , $c$ हैं और $x$ तथा $y$ दो चर हैं, जिनमें से प्रत्येक की घात $1$ है। यदि हम दो ऐसे रैखिक समीकरणों पर विचार करें, तो उन्हें युगपत रैखिक समीकरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $6x+2y+9=0$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीके हैं जैसे कि आलेखीय विधि, प्रतिस्थापन विधि, क्रॉस गुणन विधि, उन्मूलन विधि और निर्धारक विधि।

प्रश्न 1 :

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान इंगित करें:

$4=5x-3y$

हल:

$5x-3y-4=0$ , यहाँ $a=5,b=-3,c=-4$

प्रश्न 2 :

निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए।

(i) $x=-5$ ----- $1.x+0.y+5=0$

(i) $5y=2$ ----- $0.x+5.y-2=0$

@@ Line 1: / Line 1: @@
-== What is a Linear Equation? ==
+== रेखीय समीकरण क्या है? ==
-An equation that has the highest degree of <math>1 </math> is known as a linear equation. This means that no variable in a linear equation has a variable whose exponent is more than <math>1 </math>. The graph of a linear equation always forms a straight line.
+वह समीकरण जिसकी उच्चतम घात <math>1 </math> होती है, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण में किसी भी चर का घातांक <math>1 </math>इससे अधिक नहीं होता है। एक रेखीय समीकरण का ग्राफ सदैव एक सीधी रेखा बनाता है।
-'''Linear Equation Definition:''' A linear equation is an algebraic equation where each term has an exponent of <math>1 </math> and when this equation is graphed, it always results in a straight line. This is the reason why it is named as a 'linear' equation.
+'''रेखीय समीकरण परिभाषा:''' रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात सदैव <math>1 </math> होती है। इसे एक-घातीय  समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।
-There are linear equations in one variable and linear equations in two variables. Let us learn how to identify linear equations and non-linear equations with the help of the following examples.
+एक चर वाले रैखिक समीकरण और दो चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से रैखिक समीकरणों और अरैखिक समीकरणों की पहचान करना सीखें।
 {| class="wikitable"
 !Equations
@@ Line 10: / Line 10: @@
 |-
 |<math>y=8x-9 </math>
-|Linear
+|रैखिक
 |-
 |<math>y=x^2-7 </math>
-|Non-Linear, the power of the variable <math>x </math> is 2
+|अरैखिक, चर <math>x </math> की घात 2 है
 |-
 |<math>\sqrt{y}+x=6 </math>
-|Non-Linear, the power of the variable <math>y </math> is 1/2
+|अरैखिक, चर <math>y </math> की घात 1/2 है
 |-
 |<math>y+3x-1=0 </math>
-|Linear
+|रैखिक
 |-
 |<math>y^2-x=9 </math>
-|Non-Linear, the power of the variable <math>y </math> is 2
+|अरैखिक, चर <math>y </math> की घात 2 है
 |}
-== Linear Equations in Standard Form ==
+== मानक रूप में रैखिक समीकरण ==
-The standard form or the general form of linear equations in one variable is written as, <math>ax+b=0 </math> where <math>a </math> and <math>b </math> are real numbers, and <math>x </math> is the single variable.
+एक चर में रैखिक समीकरणों का मानक रूप या सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है, <math>ax+b=0 </math> जहाँ <math>a </math> और <math>b </math> वास्तविक संख्याएँ हैं, और <math>x </math> एकल चर है।
-The standard form of linear equations in two variables is expressed as, <math>ax+by+c=0 </math> where <math>a </math>, <math>b </math> and <math>c </math> are any real numbers, and <math>x </math> and <math>y </math> are the variables.
+[[दो चरों में रैखिक समीकरण|दो चरों में रैखिक समीकरणों]] का मानक रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है, <math>ax+by+c=0 </math> जहाँ <math>a </math>, <math>b </math> और <math>c </math>कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं, और <math>x </math> और <math>y </math> चर हैं।
-[[File:Linear equation format.jpg|alt=Standard form of a linear equation|none|thumb|Standard form of a linear equation]]
+[[File:Linear equation format - Hindi.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|चित्र .1]]
-== Linear Equations in One Variable ==
-A linear equation in one variable is an equation in which there is only one variable present. It is of the form <math>ax+b=0 </math>, where <math>a </math> and <math>b </math> are any two real numbers and <math>x </math> is an unknown variable that has only one solution. It is the easiest way to represent a mathematical statement. This equation has a degree that is always equal to <math>1 </math>. A linear equation in one variable can be solved very easily. The variables are separated and brought to one side of the equation and the constants are combined and brought to the other side of the equation, to get the value of the unknown variable
-'''Example:''' Solve the linear equation in one variable: <math>3x+6=18 </math>.
-In order to solve the given equation, we bring the numbers on the right-hand side of the equation and we keep the variable on the left-hand side. This means, <math>3x=18-6 </math>. Then, as we solve for <math>x </math>, we get, <math>3x=12 </math>. Finally, the value of <math>x=\frac{12}{3}=4 </math>.
-== Linear Equations in Two Variables ==
-A linear equation in two variables is of the form <math>ax+by+c=0 </math>, in which <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> are real numbers and <math>x </math> and <math>y </math> are the two variables, each with a degree of <math>1 </math>. If we consider two such linear equations, they are called simultaneous linear equations. For example, <math>6x+2y+9=0 </math> is a linear equation in two variables. There are various ways of solving linear equations in two variables like the [[Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations|graphical method]], the substitution method, the cross multiplication method, the elimination method, and the determinant method.
-'''Problem 1:'''
-Write each of the following equation in the form <math>ax+by+c=0 </math> and indicate the values of <math>a </math>, <math>b </math> and <math>c </math> in each case:
-<math>4=5x-3y </math>
-'''Solution:'''
-<math>5x-3y-4 =0 </math> , Here <math>a=5, b=-3 , c=-4 </math>
-'''Problem 2:'''
-Write each of the following as an equation in two variables.
-(i) <math>x=-5 </math> ----- <math>1.x+0.y+5=0 </math>
-(i) <math>5y=2 </math> ----- <math>0.x+5.y-2=0 </math>
-[[Category:रैखिक समीकरण]]
-रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है। इसे एक-घातीय  समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।
-एक चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप <math>ax+b=0 </math> के रूप का होता है। यहाँ, <math>x </math> एक चर है, <math>a</math> एक गुणांक है, और <math>b</math> स्थिरांक है।
-दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप इस प्रकार का होता है
+== एक चर वाले रैखिक समीकरण ==
+एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक चर उपस्थित होता है। यह <math>ax+b=0 </math>, के रूप का होता है, जहाँ <math>a </math> और <math>b </math> कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं और <math>x </math>एक अज्ञात चर है जिसका मात्र एक हल है। यह गणितीय कथन को दर्शाने का सबसे आसान उपाय है। इस समीकरण की एक घात होती है जो सदैव <math>1 </math> के समान होती है। . एक चर में रैखिक समीकरण को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। अज्ञात चर का मान प्राप्त करने के लिए, चरों को अलग करके समीकरण के एक तरफ लाया जाता है और स्थिरांकों को जोड़कर समीकरण के दूसरी तरफ लाया जाता है।
-<math>ax+by=c </math> यहां, <math>x </math> और <math>y</math> चर हैं, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, और <math>c</math> एक स्थिरांक है।
+'''उदाहरण:''' एक चर में रैखिक समीकरण हल करें:  <math>3x+6=18 </math>.
-एक चर में रैखिक समीकरण का उदाहरण  <math>5x+6=0 </math>
+दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम संख्याओं को समीकरण के दाईं ओर लाते हैं और चर को बाईं ओर रखते हैं।इसका अर्थ है,<math>3x=18-6 </math>।  फिर, जैसा कि हम हल करते हैं <math>x </math>, हमें प्राप्त होता है <math>3x=12 </math>।  अंततः, <math>x=\frac{12}{3}=4 </math> का मान होगा।
-दो चर वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण  <math>5x+6y +7=0 </math>
+== दो चर वाले रैखिक समीकरण ==
-[[File:Linear equation format - Hindi.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|चित्र .1]]
+दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण <math>ax+by+c=0 </math> के रूप का होता है, जिसमें वास्तविक संख्याएँ  <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> हैं और <math>x </math> तथा <math>y </math> दो चर हैं, जिनमें से प्रत्येक की घात <math>1 </math> है। यदि हम दो ऐसे रैखिक समीकरणों पर विचार करें, तो उन्हें युगपत रैखिक समीकरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>6x+2y+9=0 </math> दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीके हैं जैसे कि [[रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल|आलेखीय विधि]], प्रतिस्थापन विधि, क्रॉस गुणन विधि, उन्मूलन विधि और निर्धारक विधि।
-'''समस्या 1 :'''
+'''प्रश्न 1 :'''
 निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान इंगित करें:
@@ Line 85: / Line 51: @@
 <math>5x-3y-4 =0 </math> , यहाँ  <math>a=5, b=-3 , c=-4 </math>
-'''समस्या 2 :'''
+'''प्रश्न 2 :'''
 निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए।
@@ Line 94: / Line 60: @@
+[[Category:रैखिक समीकरण]]
 [[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
 [[Category:गणित]]