वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 16:04, 6 November 2024

उपसमुच्चय संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय $\{A,B,C,D,X,Y,Z\}$ के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक $\{\}$ के भीतर संलग्न किया जाता है।

उदाहरण: परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M$ , वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $M\subset R$ ।

जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय $R$ के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैं:

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों का समुच्चय

$N=\{1,2,3,4,5,...\}$

$Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M=\{x:x={\frac {p}{q}},p,q\in Z$ तथा $q\neq 0\}$ , जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:

“ $M$ उन सभी संख्याओं $x$ का समुच्चय इस प्रकार है, कि $x$ भागफल ${\frac {p}{q}}$ , के बराबर है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक है और $q$ शून्य नहीं है।" $M$ के अवयवों में $-5$ (जिसे $-{\frac {5}{1}}$ से भी प्रदर्शित किया जा सकता है), ${\frac {5}{7}}$ , $3{\frac {1}{2}}$ ( जिसे ${\frac {7}{2}}$ से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और $-{\frac {11}{3}}$ आदि सम्मिलित हैं।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे $T$ से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।

अतः $T=\{x:x\in R$ और $x\not \in M\}=R-M$ अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। $T$ के सदस्यों में ${\sqrt {2}},{\sqrt {5}}$ और $\pi$ आदि सम्मिलित हैं।

इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं; $N\subset Z\subset M,M\subset R,T\subset R,N$ ⊄ $T$ ।

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-नोट कीजिए कि किसी समुच्चय का एक अवयव उस समुच्चय का उपसमुच्चय नहीं हो सकता है। 1.6.1 वास्तविक संख्याओं के समुच्चय उपसमुच्चय
+उपसमुच्चय संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय <math>\{A, B, C, D, X, Y, Z\}</math> के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक <math>\{\}</math> के भीतर संलग्न किया जाता है।
-जैसा कि अनुच्छेद 1.6 से स्पष्ट होता है कि समुच्चय R के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैं:
+'''उदाहरण''': परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>M</math>, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय <math>R</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>M\subset R</math>।
-प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों का समुच्चय
+जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय <math>R</math>  के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैं:
-N = {1, 2, 3, 4, 5,...}
+[[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] का समुच्चय [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का समुच्चय
-Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
+<math>N = \{1, 2, 3, 4, 5,...\}</math>
-परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q = {xx = -=2,p,ge Z तथा q≠ 0}, जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:
+<math>Z=\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}</math>
-“Q उन सभी संख्याओं x का समुच्चय इस प्रकार है, कि x भागफल 2, के बराबर है, जहाँ p और
+परिमेय संख्याओं का समुच्चय  <math>M=\{x:x=\frac{p}{q},p,q\in Z</math> तथा <math>q\neq 0\}</math>, जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:
-q पूर्णांक है और q शून्य नहीं है।" Q के अवयवों में – 5 (जिसे
+“<math>M</math> उन सभी संख्याओं <math>x</math> का समुच्चय इस प्रकार है, कि <math>x</math> भागफल <math>\frac{p}{q}</math>, के बराबर है, जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक है और <math>q</math> शून्य नहीं है।" <math>M</math> के अवयवों में <math>-5</math>(जिसे  <math>-\frac{5}{1}</math> से भी प्रदर्शित किया जा सकता है), <math>\frac{5}{7}</math> , <math>3\frac{1}{2}</math> ( जिसे  <math>\frac{7}{2}</math> से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और <math>-\frac{11}{3}</math> आदि सम्मिलित हैं।
-है)
+अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे <math>T</math> से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।
-नात
+अतः <math>T=\{x:x\in R</math> और <math>x\not\in M\}=R-M</math> अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। <math>T</math>  के सदस्यों में <math>\sqrt{2},\sqrt{5}</math> और <math>\pi</math>आदि सम्मिलित हैं।
+इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं; <math>N\subset Z\subset M,M\subset R,T\subset R,N </math><big>⊄</big><math>T</math> ।
+[[Category:समुच्चय]]
+[[Category:कक्षा-11]]
+[[Category:गणित]]
-(जिसे
-q
-से भी प्रदर्शित किया जा सकता
-से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और
--
-आदि सम्मिलित हैं।
-समुच्चय 13
-अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे T से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।
-अतः T = {x xe R और x Q = R - Q अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। T के सदस्यों में √2√5 और आदि सम्मिलित हैं। इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं; NC ZCQ.QCR, TCR, NT.