वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय

उपसमुच्चय संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि में उपसमुच्चयों का ज्ञान आवश्यक है। एक समुच्चय $\{A,B,C,D,X,Y,Z\}$ के रूप में दर्शाए गए वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और कोष्ठक $\{\}$ के भीतर संलग्न किया जाता है।

उदाहरण: परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M$, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि $M\subset R$।

जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय $R$ के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैं:

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों का समुच्चय

$N=\{1,2,3,4,5,...\}$

$Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

परिमेय संख्याओं का समुच्चय $M=\{x:x={\frac {p}{q}},p,q\in Z$ तथा $q\neq 0\}$, जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:

“$M$ उन सभी संख्याओं $x$ का समुच्चय इस प्रकार है, कि $x$ भागफल ${\frac {p}{q}}$, के बराबर है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक है और $q$ शून्य नहीं है।" $M$ के अवयवों में $-5$(जिसे $-{\frac {5}{1}}$ से भी प्रदर्शित किया जा सकता है), ${\frac {5}{7}}$ , $3{\frac {1}{2}}$ ( जिसे ${\frac {7}{2}}$ से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और $-{\frac {11}{3}}$ आदि सम्मिलित हैं।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे $T$ से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।

अतः $T=\{x:x\in R$ और $x\not \in M\}=R-M$ अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। $T$ के सदस्यों में ${\sqrt {2}},{\sqrt {5}}$ और $\pi$आदि सम्मिलित हैं।

इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं; $N\subset Z\subset M,M\subset R,T\subset R,N$⊄$T$ ।