पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना: Difference between revisions

Latest revision as of 07:30, 25 November 2024

गणितीय तर्क गणित में वह अवधारणा है जो किसी भी गणितीय कथन के सत्य मानों को ज्ञात करने से संबंधित है। गणितीय तर्क के सिद्धांत का उपयोग साधारणतः प्रतियोगी परीक्षाओं और पात्रता परीक्षणों में किसी व्यक्ति की वैचारिक तार्किक सोच क्षमता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। गणितीय तर्क प्रश्न बेहद प्रभावशाली होते हैं और मानव मस्तिष्क की तर्कसंगत सोच को सफलतापूर्वक जगाते हैं। गणितीय तर्क में विभिन्न प्रकार के कथन होते हैं और उन कथनों पर किए जाने वाले संक्रियाएँ(ऑपरेशन) होते हैं।

गणितीय कथन एक ऐसा कथन है जो इस प्रकार लिखा जाता है कि वह या तो सत्य हो सकता है या असत्य, लेकिन कभी भी एक साथ सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता।

पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना

नए कथन निकालने या दिए गए कथनों से महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए सदैव तीन तकनीकों का उपयोग किया जाता है:

दिए गए कथन का निषेध
विरोधाभास विधि
प्रति कथन

आइए एक-एक करके तीनों विधियों पर दृष्टि डालें।

दिए गए कथन का निषेध

इस विधि में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करके पुराने कथनों से नए कथन बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करते हैं और इसे एक नए कथन के रूप में व्यक्त करते हैं। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण:

कथन 1: “दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग धनात्मक होता है।”

अब यदि हम इस कथन को अस्वीकार करते हैं, तो हमारे पास है,

कथन 2: दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग धनात्मक नहीं होता है।

यहाँ, “नहीं” का उपयोग करके, हमने दिए गए कथन को अस्वीकार कर दिया है और अब कथन के निषेध से निम्नलिखित अनुमान लगाया जा सकता है:

ऐसी दो संख्याएँ हैं, जिनके वर्ग योग करके धनात्मक संख्या नहीं देते हैं।

यह एक “असत्य” कथन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग धनात्मक होंगे।

उपरोक्त चर्चा से, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि (1) गणितीय रूप से स्वीकार्य कथन है, तो कथन 1 का निषेध (कथन 2 द्वारा दर्शाया गया) भी एक कथन है।

विरोधाभास विधि

इस विधि में, हम मान लेते हैं कि दिया गया कथन असत्य है और फिर धारणा को गलत सिद्ध करने का प्रयास करते हैं।

उदाहरण:

a: $y=9x^{2}+sinx$ w.r.t $x$ का अवकलज $18x+cosx$ है।

इस कथन की वैधता सिद्ध करने के लिए, मान लें कि ${dy \over dx}\neq 18x+cosx$ । हम जानते हैं कि $x^{n}$ का अवकलज $n\cdot x^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है। इसलिए, $9x^{2}$ का व्युत्पन्न $18x$ है और $sinx$ का अवकलज $cosx$ द्वारा दिया जाता है।

साथ ही,

${d \over dx}(f(x)+g(x))={d \over dx}f(x)+{d \over dx}g(x)$

इसलिए, ${d \over dx}(9x^{2}+sinx)=18x+cosx$

इसलिए, हमारी धारणा असत्य है और कथन “a” एक वैध कथन है।

प्रति कथन

वैधता सिद्ध करने का एक अन्य उपाय, प्रति कथन का उपयोग करना है, अर्थात ऐसा कथन या उदाहरण देना जहाँ दिया गया कथन मान्य न हो।

उदाहरण:

a: यदि $x$ एक अभाज्य संख्या है तो $x$ सदैव विषम होता है।

यह दर्शाने के लिए कि दिया गया कथन असत्य है, हम इसके लिए प्रति कथन ज्ञात करने का प्रयास करेंगे। हम जानते हैं कि $2$ एक अभाज्य संख्या है, अर्थात यह केवल स्वयं और $1$ से विभाज्य है। साथ ही, $2$ सबसे छोटी सम संख्या है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि $2$ एक अभाज्य संख्या है जो सम है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि कथन “a” सभी अभाज्य संख्याओं के लिए सत्य नहीं है, इसलिए, दिया गया कथन मान्य नहीं है।

उदाहरण

प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों पर विचार करें जो निम्नलिखित कथनों को नकारते हैं

P: हर्ष दिल्ली में रहता है

Q: हर्ष अमीर है

R: हर्ष भावनात्मक रूप से मजबूत है

समाधान:

∼(Q ↔ (P ^ ∼R)

हर्ष दिल्ली में रहता है और भावनात्मक रूप से मजबूत नहीं है अगर और केवल अगर हर्ष अमीर है।

निष्कर्ष

गणितीय तर्क न केवल गणितीय अवधारणाओं की हमारी समझ को बढ़ाता है, बल्कि हमें आधुनिक दुनिया की चुनौतियों से निपटने के लिए आवश्यक कौशल भी प्रदान करता है, जिसमें आंकड़ों(डेटा) की व्याख्या करना और पूर्वानुमान लगाना, तर्कों का विश्लेषण करना और साक्ष्य का मूल्यांकन करना उपस्थित है। इस प्रकार, गणितीय तर्क कौशल को बढ़ावा देना बौद्धिक जिज्ञासा, रचनात्मकता और आजीवन सीखने को बढ़ावा देने के लिए अभिन्न अंग है।

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-गणितीय तर्क गणित में वह अवधारणा है जो किसी भी गणितीय कथन के सत्य मानों को खोजने से संबंधित है। गणितीय तर्क के सिद्धांत का उपयोग आम तौर पर प्रतियोगी परीक्षाओं और पात्रता परीक्षणों में किसी व्यक्ति की वैचारिक तार्किक सोच क्षमता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। गणितीय तर्क प्रश्न बेहद दिलचस्प होते हैं और मानव मस्तिष्क की तर्कसंगत सोच को सफलतापूर्वक जगाते हैं। गणितीय तर्क में विभिन्न प्रकार के कथन होते हैं और उन कथनों पर किए जाने वाले ऑपरेशन होते हैं।
+गणितीय तर्क गणित में वह अवधारणा है जो किसी भी गणितीय कथन के सत्य मानों को ज्ञात करने से संबंधित है। गणितीय तर्क के सिद्धांत का उपयोग साधारणतः प्रतियोगी परीक्षाओं और पात्रता परीक्षणों में किसी व्यक्ति की वैचारिक तार्किक सोच क्षमता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। गणितीय तर्क प्रश्न बेहद प्रभावशाली होते हैं और मानव मस्तिष्क की तर्कसंगत सोच को सफलतापूर्वक जगाते हैं। गणितीय तर्क में विभिन्न प्रकार के कथन होते हैं और उन कथनों पर किए जाने वाले संक्रियाएँ(ऑपरेशन) होते हैं।
-गणितीय कथन एक ऐसा कथन है जो इस प्रकार लिखा जाता है कि वह या तो सत्य हो सकता है या असत्य, लेकिन कभी भी एक साथ सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता।
+गणितीय [[कथन]] एक ऐसा कथन है जो इस प्रकार लिखा जाता है कि वह या तो सत्य हो सकता है या असत्य, लेकिन कभी भी एक साथ सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता।
 == पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना ==
-नए कथन निकालने या दिए गए कथनों से महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए आम तौर पर तीन तकनीकों का उपयोग किया जाता है:
+नए कथन निकालने या दिए गए कथनों से महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए सदैव तीन तकनीकों का उपयोग किया जाता है:
-दिए गए कथन का निषेध
+# दिए गए कथन का '''निषेध'''
+# विरोधाभास विधि
+# प्रति कथन
-विरोधाभास विधि
+आइए एक-एक करके तीनों विधियों पर दृष्टि डालें।
-प्रति कथन
+=== दिए गए कथन का निषेध ===
+इस विधि में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करके पुराने कथनों से नए कथन बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करते हैं और इसे एक नए कथन के रूप में व्यक्त करते हैं। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
-आइए एक-एक करके दोनों विधियों पर नज़र डालें।
-दिए गए कथन का निषेध
-इस विधि में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करके पुराने कथनों से नए कथन बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, हम दिए गए कथन को अस्वीकार करते हैं और इसे एक नए कथन के रूप में व्यक्त करते हैं। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
+'''उदाहरण:'''
-कथन 1: “दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग धनात्मक होता है।”
+कथन 1: “दो [[प्राकृतिक संख्याएँ|प्राकृतिक संख्याओं]] के वर्गों का योग धनात्मक होता है।”
 अब यदि हम इस कथन को अस्वीकार करते हैं, तो हमारे पास है,
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 यहाँ, “नहीं” का उपयोग करके, हमने दिए गए कथन को अस्वीकार कर दिया है और अब कथन के निषेध से निम्नलिखित अनुमान लगाया जा सकता है:
-ऐसी दो संख्याएँ हैं, जिनके वर्ग योग करके धनात्मक संख्या नहीं देते हैं।
+ऐसी दो संख्याएँ हैं, जिनके वर्ग योग करके धनात्मक [[संख्या]] नहीं देते हैं।
-यह एक “गलत” कथन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग धनात्मक होंगे।
+यह एक “असत्य” कथन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग धनात्मक होंगे।
 उपरोक्त चर्चा से, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि (1) गणितीय रूप से स्वीकार्य कथन है, तो कथन 1 का निषेध (कथन 2 द्वारा दर्शाया गया) भी एक कथन है।
-विरोधाभास विधि
+=== विरोधाभास विधि ===
+इस विधि में, हम मान लेते हैं कि दिया गया कथन असत्य है और फिर धारणा को गलत सिद्ध करने का प्रयास करते हैं।
-इस विधि में, हम मान लेते हैं कि दिया गया कथन असत्य है और फिर धारणा को गलत साबित करने का प्रयास करते हैं।
+'''उदाहरण''':
-उदाहरण:
+a:  <math>y = 9x^2 + sin x</math> w.r.t <math>x </math> का [[अवकलज]] <math>18x + cos x</math> है।
-a: y = 9x2 + sin x w.r.t x का व्युत्पन्न 18x + cos x है।
+इस कथन की वैधता सिद्ध करने के लिए, मान लें कि<math>{dy \over dx} \neq 18x + cos x</math>। हम जानते हैं कि <math>x^n</math> का अवकलज <math>n \cdot x^{n-1}</math> द्वारा दिया जाता है। इसलिए, <math>9x^2</math> का व्युत्पन्न <math>18x</math> है और <math>sin x</math> का अवकलज <math>cos  x</math> द्वारा दिया जाता है।
-इस कथन की वैधता साबित करने के लिए, मान लें कि dy/dx ≠ 18x + cos x। हम जानते हैं कि xn का व्युत्पन्न n • xn−1 द्वारा दिया जाता है। इसलिए, 9x2 का व्युत्पन्न 18x है और sin x का व्युत्पन्न cos x द्वारा दिया जाता है।
 साथ ही,
-d/dx(f(x)+g(x))=df(x)/dx+dg(x)/dx
+<math>{d \over dx}(f(x)+g(x))={d \over dx}f(x)+{d \over dx}g(x)</math>
-इसलिए, d/dx (9x2 + sin x) = 18x + cos x
-इसलिए, हमारी धारणा गलत है और कथन “a” एक वैध कथन है।
+इसलिए, <math>{d \over dx}(9x^2 + sin x) = 18x + cos x</math>
-प्रति कथन
+इसलिए, हमारी धारणा असत्य है और कथन “a” एक वैध कथन है।
-वैधता सिद्ध करने का एक अन्य तरीका प्रति कथन का उपयोग करना है, अर्थात ऐसा कथन या उदाहरण देना जहाँ दिया गया कथन मान्य न हो।
+=== प्रति कथन ===
+वैधता सिद्ध करने का एक अन्य उपाय, प्रति कथन का उपयोग करना है, अर्थात ऐसा कथन या उदाहरण देना जहाँ दिया गया कथन मान्य न हो।
-उदाहरण:
+'''उदाहरण''':
-a: यदि x एक अभाज्य संख्या है तो x हमेशा विषम होता है।
+a:  यदि <math>x </math> एक [[अभाज्य संख्याएँ|अभाज्य संख्या]] है तो <math>x </math> सदैव विषम होता है।
-यह दर्शाने के लिए कि दिया गया कथन असत्य है, हम इसके लिए प्रति कथन खोजने का प्रयास करेंगे। हम जानते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है, अर्थात यह केवल स्वयं और 1 से विभाज्य है। साथ ही, 2 सबसे छोटी सम संख्या है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है जो सम है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि कथन “a” सभी अभाज्य संख्याओं के लिए सत्य नहीं है, इसलिए, दिया गया कथन मान्य नहीं है।
+यह दर्शाने के लिए कि दिया गया कथन असत्य है, हम इसके लिए प्रति कथन ज्ञात करने का प्रयास करेंगे। हम जानते हैं कि <math>2</math> एक अभाज्य संख्या है, अर्थात यह केवल स्वयं और <math>1</math> से विभाज्य है। साथ ही, <math>2</math> सबसे छोटी सम संख्या है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि <math>2</math> एक अभाज्य संख्या है जो सम है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि कथन “a” सभी अभाज्य संख्याओं के लिए सत्य नहीं है, इसलिए, दिया गया कथन मान्य नहीं है।
 == उदाहरण ==
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 समाधान:
-∼(Q ↔ (P ^ ∼R)
+'''∼(Q ↔ (P ^ ∼R)'''
 हर्ष दिल्ली में रहता है और भावनात्मक रूप से मजबूत नहीं है अगर और केवल अगर हर्ष अमीर है।
+== निष्कर्ष ==
+गणितीय तर्क न केवल गणितीय अवधारणाओं की हमारी समझ को बढ़ाता है, बल्कि हमें आधुनिक दुनिया की चुनौतियों से निपटने के लिए आवश्यक कौशल भी प्रदान करता है, जिसमें आंकड़ों(डेटा) की व्याख्या करना और पूर्वानुमान लगाना, तर्कों का विश्लेषण करना और साक्ष्य का मूल्यांकन करना उपस्थित है। इस प्रकार, गणितीय तर्क कौशल को बढ़ावा देना बौद्धिक जिज्ञासा, रचनात्मकता और आजीवन सीखने को बढ़ावा देने के लिए अभिन्न अंग है।
 [[Category:गणितीय विवेचन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]