सांतत्य: Difference between revisions

Latest revision as of 13:43, 30 November 2024

किसी फलन का सांतत्य

सांतत्य-फलन x=0 पर सतत है

आलेख $y=f(x)$ के लिए सांतत्य को सरलता से संतत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि हम किसी बिंदु पर पेंसिल उठाए बिना आसानी से आलेख खींचने में सक्षम हैं। मान लें कि $f(x)$ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है और $c$ फलन $f(x)$ के प्रांत में उपस्थित एक बिंदु है। तब हम कहते हैं कि फलन $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर संतत है यदि हमारे पास $\textstyle \lim _{x\to c}\displaystyle f(x)=f(c)$ है।

किसी फलन की सांतत्य को आलेखीय रूप से या बीजगणितीय रूप से समझाया जा सकता है। आलेख में बिंदु पर फलन $y=f(x)$ की सांतत्य एक आलेख रेखा है जो बिना किसी रुकावट के बिंदु से लगातार गुजरती है। फलन $y=f(x)$ की सांतत्य को बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है यदि फलन का मान बाएं हाथ की सीमा से फलन के मान के बराबर है। $\textstyle \lim _{x\to 1^{-1}}\displaystyle f(x)=\textstyle \lim _{x\to 1^{+1}}\displaystyle f(x)$ । यानी $x=0.99,0.998$ के मान, जो $1$ से थोड़े कम हैं, का $f(x)$ फलन मान $x=1.001,1.0001$ के समान है, जो $1$ से थोड़े अधिक हैं।

सांतत्य और अवकलनीयता पर प्रमेय

सांतत्य और अवकलनीयता पर निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय, सांतत्य और अवकलनीयता की अवधारणाओं की गहन समझ के लिए सही पृष्ठभूमि निर्धारित करते हैं।

प्रमेय 1:

यदि दो फलन $f(x)$ और $g(x)$ एक वास्तविक मान फलन पर संतत हैं और एक बिंदु $x=c$ पर संतत हैं, तो हमारे पास है:

$f(x)+g(x)$ बिंदु $x=c$ पर संतत है

$f(x)-g(x)$ एक बिंदु $x=c$ पर संतत है

$f(x)\cdot g(x)$ बिंदु $x=c$ पर संतत है

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ एक बिंदु $x=c$ पर संतत है, बशर्ते $g(x)\neq 0$

प्रमेय 2:

दो वास्तविक मान फलन $f(x)$ और $g(x)$ के लिए जैसे कि समग्र फलन $fog(x)$ , $x=c$ पर परिभाषित किया गया है। यदि $g(x),x=c$ पर सतत है और फलन $f(x),g(c)$ पर सतत है, तो $fog(x)$ , $x=c$ पर सतत है।

प्रमेय 3:

यदि दिया गया फलन $f(x)$ किसी बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसे संक्षेप में इस प्रकार कहा जा सकता है कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है।

प्रमेय 4:

श्रृंखला नियम: एक वास्तविक मान वाले फलन $f(x)$ के लिए, जो दो फलन $u$ और $v$ का संयोजन है, अर्थात, $f=vou$ । साथ ही मान लें कि $t=u(x)$ है और यदि ${dt \over dx}$ और ${dv \over dt}$ दोनों उपस्थित हैं, तो हमारे पास ${df \over dx}={dv \over dt}\cdot dt\cdot dx$ है।

प्रमेय 5:

$x$ के सापेक्ष $e^{x}$ का अवकलज $e^{x}\cdot {d \over dx}\cdot e^{x}=1$ है। और $x$ के सापेक्ष $\log x$ का अवकलज ${\frac {1}{d}}\cdot {d \over dx}.logx={\frac {1}{x}}$ है।

प्रमेय 6:

(रोले का प्रमेय)। यदि कोई फलन $f(x)$ अंतराल $[a,b]$ में संतत है और अंतराल $(a,b)$ में अवकलनीय है, जैसे कि $f(a)=f(b),$ और $a,b$ कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब अंतराल $[a,b]$ में एक बिंदु $c$ उपस्थित होता है जैसे कि $f'(c)=0$

प्रमेय 7:

(माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई फलन $f(x)$ अंतराल $[a,b]$ में संतत है और अंतराल $(a,b)$ में अवकलनीय है, तो अंतराल $[a,b]$ में एक बिंदु $c$ उपस्थित होता है जैसे कि $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

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-== किसी फ़ंक्शन की निरंतरता ==
+== किसी फलन का सांतत्य ==
-ग्राफ़ y = f(x) के लिए निरंतरता को सरलता से निरंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि हम किसी बिंदु पर पेंसिल उठाए बिना आसानी से ग्राफ़ खींचने में सक्षम हैं। मान लें कि f(x) वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है और c फ़ंक्शन f(x) के डोमेन में मौजूद एक बिंदु है। तब हम कहते हैं कि फ़ंक्शन f(x) बिंदु x = c पर निरंतर है यदि हमारे पास Limx→cf(x)=f(c) है।
+[[File:सांतत्य-फलन x=0 पर सतत है.jpg|thumb|सांतत्य-फलन x=0 पर सतत है]]
+आलेख <math>y = f(x)</math> के लिए सांतत्य को सरलता से संतत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि हम किसी बिंदु पर पेंसिल उठाए बिना आसानी से आलेख खींचने में सक्षम हैं। मान लें कि <math>f(x)</math>  [[वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ|वास्तविक संख्याओं]] के उपसमुच्चय पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है और <math>c</math> फलन <math>f(x)</math> के प्रांत में उपस्थित एक बिंदु है। तब हम कहते हैं कि फलन <math>f(x)</math> बिंदु <math>x = c</math> पर संतत है यदि हमारे पास  <math>\textstyle \lim_{x \to c} \displaystyle f (x)=f(c)</math> है।
+किसी [[फलन]] की सांतत्य को आलेखीय रूप से या बीजगणितीय रूप से समझाया जा सकता है। आलेख  में बिंदु पर फलन <math>y = f(x)</math> की सांतत्य एक आलेख रेखा है जो बिना किसी रुकावट के बिंदु से लगातार गुजरती है। फलन <math>y = f(x)</math> की सांतत्य को बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है यदि फलन का मान बाएं हाथ की सीमा से फलन के मान के बराबर है। <math> \textstyle \lim_{x \to 1^{-1}} \displaystyle f(x)=\textstyle \lim_{x \to 1^{+1}} \displaystyle f(x)</math>। यानी <math>x = 0.99, 0.998</math> के मान, जो <math>1</math> से थोड़े कम हैं, का <math>f(x)</math> फलन मान <math>x = 1.001, 1.0001</math> के समान है, जो <math>1</math> से थोड़े अधिक हैं।
+== सांतत्य और अवकलनीयता पर प्रमेय ==
+सांतत्य और [[अवकलनीयता]] पर निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय, सांतत्य और अवकलनीयता की अवधारणाओं की गहन समझ के लिए सही पृष्ठभूमि निर्धारित करते हैं।
+=== प्रमेय 1: ===
+यदि दो फलन <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> एक वास्तविक मान फलन पर संतत हैं और एक बिंदु <math>x = c</math> पर संतत हैं, तो हमारे पास है:
+<math>f(x) + g(x)</math> बिंदु <math>x = c</math> पर संतत है
-किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को ग्राफ़िक रूप से या बीजगणितीय रूप से समझाया जा सकता है। ग्राफ़ में बिंदु पर फ़ंक्शन y = f(x) की निरंतरता एक ग्राफ़ रेखा है जो बिना किसी ब्रेक के बिंदु से लगातार गुजरती है। फ़ंक्शन y = f(x) की निरंतरता को बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है यदि फ़ंक्शन का मान बाएं हाथ की सीमा से फ़ंक्शन के मान के बराबर है। Limx→1−1f(x)=Limx→1+1f(x)। यानी x = 0.99, 0.998 के मान, जो 1 से थोड़े कम हैं, का f(x) फ़ंक्शन मान x = 1.001, 1.0001 के समान है, जो 1 से थोड़े अधिक हैं।
+<math>f(x) - g(x)</math> एक बिंदु <math>x = c</math> पर संतत है
-== निरंतरता और भिन्नता पर प्रमेय ==
+<math>f(x)\cdot g(x)</math> बिंदु <math>x = c</math>  पर संतत है
-निरंतरता और भिन्नता पर निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय, निरंतरता और भिन्नता की अवधारणाओं की गहन समझ के लिए सही पृष्ठभूमि निर्धारित करते हैं।
-प्रमेय 1: यदि दो फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक वास्तविक मान फ़ंक्शन पर निरंतर हैं और एक बिंदु x = c पर निरंतर हैं, तो हमारे पास है:
+<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> एक बिंदु <math>x = c</math> पर संतत है, बशर्ते <math>g(x) \neq 0</math>
-f(x) + g(x) बिंदु c = c पर निरंतर है
+=== प्रमेय 2: ===
+दो वास्तविक मान फलन <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> के लिए जैसे कि समग्र फलन <math>fog(x)</math>, <math> x = c</math> पर परिभाषित किया गया है। यदि <math>g(x), x = c</math> पर सतत है और फलन <math>f(x), g(c)</math>पर सतत है, तो<math>fog(x)</math>, <math> x = c</math> पर सतत है।
-f(x) - g(x) एक बिंदु x = c पर निरंतर है
+=== प्रमेय 3: ===
+यदि दिया गया फलन<math>f(x)</math> किसी बिंदु <math>x = c</math> पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसे संक्षेप में इस प्रकार कहा जा सकता है कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है।
-g(x).g(x) बिंदु x = c पर निरंतर है
+=== प्रमेय 4: ===
+'''श्रृंखला नियम''': एक वास्तविक मान वाले फलन <math>f(x)</math> के लिए, जो दो फलन <math>u</math> और <math>v</math> का संयोजन है, अर्थात,<math>f = vou</math>। साथ ही मान लें कि <math>t = u(x)</math> है और यदि <math> {dt \over dx}</math>और <math> {dv \over dt}</math> दोनों उपस्थित हैं, तो हमारे पास  <math> {df \over dx} = {dv \over dt}\cdot dt\cdot dx</math> है।
-f(x)/g(x) एक बिंदु x = c पर निरंतर है, बशर्ते g(c) ≠ 0
+=== प्रमेय 5: ===
+<math> x</math> के सापेक्ष <math> e^x</math> का अवकलज   <math> e^x \cdot {d \over dx}\cdot e^x = 1</math> है। और <math>  x</math> के सापेक्ष <math> \log x</math> का अवकलज    <math> \frac{1}{d} \cdot {d \over dx}. logx = \frac{1}{x}</math> है।
-प्रमेय 2: दो वास्तविक मान फ़ंक्शन f(x) और g(x) के लिए जैसे कि समग्र फ़ंक्शन fog(x) x = c पर परिभाषित किया गया है। यदि g(x) x = c पर सतत है और फ़ंक्शन f(x) g(c) पर सतत है, तो fog(x) x = c पर सतत है।
+=== प्रमेय 6: ===
+(रोले का प्रमेय)। यदि कोई फलन <math>f(x)</math> अंतराल <math>[a, b]</math> में संतत है और अंतराल <math>(a, b)</math> में अवकलनीय है, जैसे कि <math> f(a) = f(b),</math> और <math> a, b</math> कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब अंतराल<math> [a, b]</math>में एक बिंदु <math> c</math> उपस्थित होता है जैसे कि <math> f'(c) = 0</math>
-प्रमेय 3: यदि दिया गया फ़ंक्शन f(x) किसी बिंदु x = c पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसे संक्षेप में इस प्रकार कहा जा सकता है कि प्रत्येक अवकलनीय फ़ंक्शन सतत है।
+=== प्रमेय 7: ===
+(माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई फलन <math>f(x)</math> अंतराल <math>[a, b]</math> में संतत है और अंतराल <math>(a, b)</math> में अवकलनीय है, तो अंतराल <math>[a, b]</math> में एक बिंदु <math> c</math> उपस्थित होता है जैसे कि <math> f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
-प्रमेय 4: श्रृंखला नियम: एक वास्तविक मान वाले फ़ंक्शन f(x) के लिए, जो दो फ़ंक्शन u और v का संयोजन है, अर्थात, f = vou। साथ ही मान लें कि t = u(x) है और यदि dt/dx और dv/dt दोनों मौजूद हैं, तो हमारे पास df/dx = dv/dt.dt.dx है।
-प्रमेय 5: x के सापेक्ष ex का व्युत्पन्न ex है। d/dx.ex = 1. और x के सापेक्ष logx का व्युत्पन्न 1/d है। d/dx. logx = 1/x.
-प्रमेय 6: (रोले का प्रमेय)। यदि कोई फ़ंक्शन f(x) अंतराल [a, b] में निरंतर है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, जैसे कि f(a) = f(b), और a, b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब अंतराल [a, b] में एक बिंदु c मौजूद होता है जैसे कि f'(c) = 0.
-प्रमेय 7: (माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई फ़ंक्शन f(x) अंतराल [a, b] में निरंतर है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, तो अंतराल [a, b] में एक बिंदु c मौजूद होता है जैसे कि
-f
-′
-(
-c
-)
-=
-f
-(
-b
-)
-−
-f
-(
-a
-)
-b
-−
-a
 [[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]