दो रेखाओं के मध्य का कोण: Difference between revisions

Latest revision as of 08:56, 17 December 2024

मध्य का कोण दो रेखाओं के मध्य झुकाव का माप है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, रेखाओं के मध्य दो प्रकार के कोण होते हैं, न्यून कोण और अधिक कोण। यहाँ हम रेखाओं के मध्य के न्यून कोण को दो रेखाओं के मध्य का कोण मानते हैं।

दो रेखाओं के मध्य का कोण जिनकी ढलान $m_{1}$ और $m_{2}$ है, सूत्र $tan^{-1}|(m_{1}-m_{2})/(1+m_{1}m_{2})$ | द्वारा दिया जाता है। आइए एक निर्देशांक तल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य के कोण से संबंधित सभी सूत्रों की जाँच करें।

दो रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात करना

दो रेखाओं के मध्य के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलानों को जानकर या दो रेखाओं के समीकरणों को जानकर की जा सकती है। दो रेखाओं के मध्य का कोण साधारणतः दो रेखाओं के मध्य का न्यून कोण देता है।

दो रेखाओं के मध्य के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलान से और त्रिकोणमितीय स्पर्शरेखा फलन का उपयोग करके की जा सकती है। आइए हम दो रेखाओं पर विचार करें जिनकी ढलान क्रमशः $m_{1}$ , और $m_{2}$ है। रेखाओं के मध्य के न्यून कोण $\theta$ की गणना स्पर्शरेखा फलन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। दो रेखाओं के मध्य का न्यून कोण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।

$tan\theta =\left\vert {\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right\vert$

इसके अलावा, हम दो रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कर सकते हैं यदि दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। मान लें कि दो रेखाओं के समीकरण हैंl $l_{1}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ , और $l_{2}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ । दो रेखाओं के मध्य के कोण की गणना दो रेखाओं के मध्य के कोण की स्पर्शरेखा द्वारा की जा सकती है।

$tan\theta =\left\vert {\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}\right\vert$

दो रेखाओं के मध्य के कोण के लिए सूत्र

निम्नलिखित विभिन्न सूत्र दो रेखाओं के मध्य के कोण को आसानी से ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

दो रेखाओं के मध्य का कोण, जिनमें से एक रेखा $ax+by+c=0$ है, और दूसरी रेखा $x$ -अक्ष है, $\theta =tan^{-1}(-a/b)$ है।
दो रेखाओं के मध्य का कोण, जिनमें से एक रेखा $y=mx+c$ है और दूसरी रेखा $x$ -अक्ष है, $\theta =tan^{-1}m$ है।
दो रेखाओं के मध्य का कोण जो एक दूसरे के समानांतर हैं और जिनकी ढलान $(m1=m2),$ $0^{\circ }$ बराबर है।
दो रेखाओं के मध्य का कोण जो एक दूसरे के लंबवत हैं और जिनकी ढलानों का गुणनफल $-1$ , $(m_{1}m_{2}=-1),\ 90^{\circ }$ के बराबर है ।
ढलान $m_{1}$ और $m_{2}$ वाली दो रेखाओं के मध्य का कोण क्रमशः $\theta =tan^{-1}\left\vert {\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right\vert$
दो रेखाओं के मध्य का कोण जिनके समीकरण $l_{1}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ , तथा $l_{2}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ $\theta =tan^{-1}\left\vert {\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}\right\vert$ है ।
दो रेखाओं के मध्य का कोण जिनके समीकरण $l_{1}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ , तथा $l_{2}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ है $cos\theta ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}}$
सरल रेखाओं $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के मध्य का कोण $\theta =Tan^{-1}{\frac {2{\sqrt {(h^{2}-ab)}}}{(a+b)}}$

कोज्या नियम के अनुसार, $a,b,c$ की भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज में, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य का कोण $cosA={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$ के बराबर होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य का कोण

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य के कोण की गणना निर्देशांक तल में दो रेखाओं के मध्य के कोण के समान ही की जा सकती है। समीकरणों

$r=a_{1}+\lambda b_{1},$ और $r=a_{2}+\lambda b_{2},$ वाली दो रेखाओं के लिए, रेखाओं के मध्य का कोण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है।

$cos\theta ={\frac {b1\cdot b2}{|b1||b2|}}$ इसके अतिरिक्त दिक् अनुपात वाली दो रेखाओं के लिए $(a_{1},b_{1},c_{1}),$ और $(a_{2},b_{2},c_{2}),$ रेखाओं के मध्य के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

$cos\theta ={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$

इसके अतिरिक्त दो रेखाओं के लिए जिनकी दिक् कोज्या $l_{1},m_{1},n_{1},$ और $l_{2},m_{2},n_{2}$ है, दो रेखाओं के मध्य के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

$cos\theta =\left\vert l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right\vert$

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-बीच का कोण दो रेखाओं के बीच झुकाव का माप है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, रेखाओं के बीच दो प्रकार के कोण होते हैं, न्यून कोण और अधिक कोण। यहाँ हम रेखाओं के बीच के न्यून कोण को दो रेखाओं के बीच का कोण मानते हैं।
+मध्य  का कोण दो रेखाओं के मध्य झुकाव का माप है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, रेखाओं के मध्य  दो प्रकार के कोण होते हैं, न्यून कोण और अधिक कोण। यहाँ हम रेखाओं के मध्य  के न्यून कोण को दो रेखाओं के मध्य  का कोण मानते हैं।
-दो रेखाओं के बीच का कोण जिनकी ढलान <math>m_1</math> और <math>m_2</math> है, सूत्र <math>tan^{-1}|(m_1 - m_2)/(1 + m_1 m_2)</math>| द्वारा दिया जाता है। आइए एक निर्देशांक तल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण से संबंधित सभी सूत्रों की जाँच करें।
+दो रेखाओं के मध्य का कोण जिनकी ढलान <math>m_1</math> और <math>m_2</math> है, सूत्र <math>tan^{-1}|(m_1 - m_2)/(1 + m_1 m_2)</math>| द्वारा दिया जाता है। आइए एक निर्देशांक तल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य  के कोण से संबंधित सभी सूत्रों की जाँच करें।
-== दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना ==
+== दो रेखाओं के मध्य  का कोण ज्ञात करना ==
-दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलानों को जानकर या दो रेखाओं के समीकरणों को जानकर की जा सकती है। दो रेखाओं के बीच का कोण आम तौर पर दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण देता है।
+दो रेखाओं के मध्य  के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलानों को जानकर या दो रेखाओं के समीकरणों को जानकर की जा सकती है। दो रेखाओं के मध्य  का कोण साधारणतः  दो रेखाओं के मध्य  का न्यून कोण देता है।
-दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलान से और त्रिकोणमितीय स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग करके की जा सकती है। आइए हम दो रेखाओं पर विचार करें जिनकी ढलान क्रमशः <math>m_1</math>, और <math>m_2</math> है। रेखाओं के बीच के न्यून कोण θ की गणना स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
+दो [[रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात|रेखाओं]] के मध्य  के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलान से और [[त्रिकोणमितीय फलन|त्रिकोणमितीय]] स्पर्शरेखा फलन का उपयोग करके की जा सकती है। आइए हम दो रेखाओं पर विचार करें जिनकी ढलान क्रमशः <math>m_1</math>, और <math>m_2</math> है। रेखाओं के मध्य  के न्यून कोण <math>\theta</math> की गणना स्पर्शरेखा फलन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। दो रेखाओं के मध्य  का न्यून कोण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
 <math>tan\theta = \left\vert \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right\vert</math>
-इसके अलावा, हम दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं यदि दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। मान लें कि दो रेखाओं के समीकरण हैंl <math>l_1=a_1x+b_1y+c_1=0</math>, और  <math>l_2=a_2x+b_2y+c_2=0</math>। दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा द्वारा की जा सकती है।
+इसके अलावा, हम दो रेखाओं के मध्य  का कोण ज्ञात कर सकते हैं यदि दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। मान लें कि दो रेखाओं के समीकरण हैंl <math>l_1=a_1x+b_1y+c_1=0</math>, और  <math>l_2=a_2x+b_2y+c_2=0</math>। दो रेखाओं के मध्य  के कोण की गणना दो रेखाओं के मध्य  के कोण की स्पर्शरेखा द्वारा की जा सकती है।
 <math>tan\theta = \left\vert \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_1a_2+b_1b_2} \right\vert</math>
-== दो रेखाओं के बीच के कोण के लिए सूत्र ==
+== दो रेखाओं के मध्य  के कोण के लिए सूत्र ==
-निम्नलिखित विभिन्न सूत्र दो रेखाओं के बीच के कोण को आसानी से खोजने में मदद करते हैं।
+निम्नलिखित विभिन्न सूत्र दो रेखाओं के मध्य  के कोण को आसानी से ज्ञात करने में सहायता करते हैं।
-* दो रेखाओं के बीच का कोण, जिनमें से एक रेखा <math>ax + by + c = 0</math> है, और दूसरी रेखा <math>x</math>-अक्ष है, <math>\theta = tan^{-1}(-a/b)</math> है।
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण, जिनमें से एक रेखा <math>ax + by + c = 0</math> है, और दूसरी रेखा <math>x</math>-अक्ष है, <math>\theta = tan^{-1}(-a/b)</math> है।
-* दो रेखाओं के बीच का कोण, जिनमें से एक रेखा <math>y = mx + c</math> है और दूसरी रेखा <math>x</math>-अक्ष है, θ = tan-1m है।
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण, जिनमें से एक रेखा <math>y = mx + c</math> है और दूसरी रेखा <math>x</math>-अक्ष है, <math>\theta = tan^{-1}m</math> है।
-* दो रेखाओं के बीच का कोण जो एक दूसरे के समानांतर हैं और जिनकी ढलान बराबर है (m1=m2) 0º है।
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण जो एक दूसरे के समानांतर हैं और जिनकी ढलान <math>(m1=m2),</math> <math> 0^\circ</math> बराबर  है।
-* दो रेखाओं के बीच का कोण जो एक दूसरे के लंबवत हैं और जिनकी ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर है (m1m2=−1)90º है।
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण जो एक दूसरे के लंबवत हैं और जिनकी ढलानों का गुणनफल <math>-1</math> , <math>(m_1m_2=-1),\ 90^\circ</math> के  बराबर है ।
-* ढलान <math>m_1</math>, और <math>m_2</math> वाली दो रेखाओं के बीच का कोण क्रमशः θ =tan−1∣∣∣m1−m21+m1m2∣∣∣.
+* ढलान <math>m_1</math> और <math>m_2</math> वाली दो रेखाओं के मध्य  का कोण क्रमशः <math>\theta = tan^{-1}\left\vert \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right\vert</math>
-* दो रेखाओं के बीच का कोण जिनके समीकरण   l1=a1x+b1y+c1=0, तथा l2=a2x+b2y+c2=0 है θ =tan−1∣∣a2b1−a1b2a1a2+b1b2∣∣
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण जिनके समीकरण <math>l_1=a_1x+b_1y+c_1=0</math> , तथा  <math>l_2=a_2x+b_2y+c_2=0</math>  <math>\theta =tan^{-1} \left\vert \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_1a_2+b_1b_2} \right\vert</math>  है ।
+* दो रेखाओं के मध्य  का कोण जिनके समीकरण <math>l_1=a_1x+b_1y+c_1=0</math>,  तथा  <math>l_2=a_2x+b_2y+c_2=0</math>  है <math>cos \theta= \frac{\left\vert a_1a_2+b_1b_2 \right\vert}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}</math>
+* सरल  रेखाओं <math>ax^2 + 2hxy + by^2 = 0</math> के मध्य  का कोण  <math>\theta =Tan^{-1}\frac{ 2\sqrt{(h^2-ab)}}{(a+b)} </math>
-* दो रेखाओं के बीच का कोण जिनके समीकरण l1=a1x+b1y+c1=0, तथा  l2=a2x+b2y+c2=0  है cos θ = |a1a2+b1b2|
+* कोज्या  नियम के अनुसार, <math>a, b, c</math> की भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज में, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य  का कोण <math>cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math>  के  बराबर होता है।
-* a21+b21⋅√a22+b22 सीधी रेखाओं ax2 + 2hxy + by2 = 0 के बीच का कोण θ =Tan−12√(h2−ab)(a+b)
-* कोसाइन नियम के अनुसार, <math>a, b, c</math> की भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज में, त्रिभुज की दो भुजाओं के बीच का कोण <math>cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math>  के  बराबर होता है।
+== त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य का कोण ==
+त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के मध्य  के कोण की गणना निर्देशांक तल में दो रेखाओं के मध्य  के कोण के समान ही की जा सकती है। समीकरणों
-== त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ==
+<math>r=a_1+\lambda b_1,</math>और  <math>r=a_2+\lambda b_2 ,</math> वाली दो रेखाओं के लिए, रेखाओं के मध्य  का कोण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है।
-त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना निर्देशांक तल में दो रेखाओं के बीच के कोण के समान ही की जा सकती है। समीकरणों
-<math>r=a_1+\lambda b_1,</math>और  <math>r=a_2+\lambda b_2 ,</math> वाली दो रेखाओं के लिए, रेखाओं के बीच का कोण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है।
+<math>cos \theta =\frac{b1\cdot b2}{|b1||b2|}</math>   इसके अतिरिक्त दिक्  अनुपात वाली दो रेखाओं के लिए <math>(a_1,b_1,c_1),</math> और <math>(a_2,b_2,c_2) ,</math>रेखाओं के मध्य  के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
-<math>cos \theta =\frac{b1\cdot b2}{|b1||b2|}</math>   इसके अलावा दिशा अनुपात वाली दो रेखाओं के लिए <math>(a_1,b_1,c_1),</math> और <math>(a_2,b_2,c_2) ,</math>रेखाओं के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
 <math>cos \theta =\frac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}</math>
-इसके अलावा दो रेखाओं के लिए जिनकी दिशा कोसाइन <math>l_1,m_1,n_1,</math> और  <math>l_2,m_2,n_2</math> है, दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
+इसके अतिरिक्त दो रेखाओं के लिए जिनकी दिक् कोज्या  <math>l_1,m_1,n_1,</math> और  <math>l_2,m_2,n_2</math> है, दो रेखाओं के मध्य  के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
 <math>cos \theta =\left\vert l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 \right\vert</math>
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