विभाजन सूत्र: Difference between revisions

Revision as of 13:31, 25 October 2024

विभाजन सूत्र

द्विविमीय ज्यामिति में हमने सीखा है कि किस प्रकार समकोणिक कार्टेशियन पद्धति में एक रेखा खंड को दिए अनुपात में अंत: विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। अब हम इस संकल्पना का विस्तार त्रिविमीय ज्यामिति के लिए करते हैं।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ व $Q(x_{2},y_{2},z_{2})$ हैं। माना $R(x,y,z)$ रेखा खंड $PQ$ को $m:n$ अनुपात में अंत: विभाजित करता है। $XY$ - तल पर $PL$ , $QM$ और $RN$ लंब खींचिए । स्पष्टत: $PL$ $\parallel$ $QM$ $\parallel$ $RN$ हैं तथा इन तीन लंबों के पाद $XY$ - तल में स्थित हैं बिंदु L, $M$ और $N$ उस रेखा पर स्थित हैं जो उस तल और $XY$ - तल के प्रतिच्छेदन से बनती है। बिंदु $R$ से रेखा $LM$ के समांतर रेखा $ST$ खींचिए | $ST$ रेखा खींचे गए लंब के तल में स्थित है तथा रेखा $LP$ (विस्तारित) को $S$ और $MQ$ को $T$ पर प्रतिच्छेदित करती है। जैसा चित्र में प्रदर्शित है।

आकृति 12.5

स्पष्टतः चर्तुभुज LNRS और NMTR समांतर चर्तुभुज हैं। त्रिभुजों PSR और QTR स्पष्टतः समरूप हैं। इसलिए not इस प्रकार

n

z=

PR SP SL-PL NR-PL

=

QR QT QM-TM QM-NR

mz2 + nzj

2-4

22 - 2

m+n

ठीक इसी प्रकार XZ - तल और YZ - तल पर लंब खींचने पर हमें प्राप्त होता है,

my2 + ny1

y =

और x =

mx2 + nx1

m+n

m+ n

अत: बिंदु R जो बिंदु P (x, y, z ) और Q (x2, J2, 22 ) को मिलाने वाले रेखा खंड को mn के अनुपात में अंत: विभाजित करता है, के निर्देशांक हैं,

mx2 + nx1 my1⁄2 +ny1 mz2 +nz1

m+n

यदि बिंदु R, रेखा खंड PQ को mn अनुपात में बाह्य विभाजित करता हो तो इसके निर्देशांक उपर्युक्त सूत्र में " को " से विस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार R के निर्देशांक होंगें,

n

mx2-nx1 mу2-ny1 mz2-nz1

m-n

स्थिति 1 मध्य-बिंदु के निर्देशांक यदि R, रेखाखंड PQ का मध्य-बिंदु है तो

m

रखने पर

* + *2

x=

,) =

z=

और 21+22

2

को मिलाने वाली रेखा खंड के मध्य

-

प - बिंदु के निर्देशांक हैं।

ये P (x, y, z) और Q (X2 Y2Z2)

स्थिति 2 रेखा खंड PQ को k : 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक

m

k = " रखने पर प्राप्त किए जा सकते हैं:

n

ew

(kx2+Xj ky2+91 kz2+Z1

l+k

1+k

यह परिणाम प्रायः दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर व्यापक बिंदु संबंधी प्रश्नों के हल करने में प्रयुक्त होता है।

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-Section Formula
+विभाजन सूत्र
+द्विविमीय ज्यामिति में हमने सीखा है कि किस प्रकार समकोणिक कार्टेशियन पद्धति में एक रेखा खंड को दिए अनुपात में अंत: विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। अब हम इस संकल्पना का विस्तार त्रिविमीय ज्यामिति के लिए करते हैं।
+मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु <math>P(x_1,y_1,z_1)</math> व <math>Q(x_2,y_2,z_2)</math> हैं। माना <math>R (x, y,z)</math> रेखा खंड <math>PQ</math> को <math>m:n</math> अनुपात में अंत: विभाजित करता है। <math>XY</math>- तल पर <math>PL</math>, <math>QM</math> और <math>RN</math> लंब खींचिए । स्पष्टत: <math>PL</math> <math>\parallel</math><math>QM</math><math>\parallel</math><math>RN</math> हैं तथा इन तीन लंबों के पाद <math>XY</math>- तल में स्थित हैं बिंदु L, <math>M</math> और <math>N</math> उस रेखा पर स्थित हैं जो उस तल और <math>XY</math>- तल के प्रतिच्छेदन से बनती है। बिंदु <math>R</math> से रेखा <math>LM</math> के समांतर रेखा <math>ST</math> खींचिए | <math>ST</math>रेखा खींचे गए लंब के तल में स्थित है तथा रेखा <math>LP</math> (विस्तारित) को <math>S</math> और <math>MQ</math> को <math>T</math> पर प्रतिच्छेदित करती है। जैसा चित्र में प्रदर्शित है।
+आकृति 12.5
+स्पष्टतः चर्तुभुज LNRS और NMTR समांतर चर्तुभुज हैं। त्रिभुजों PSR और QTR स्पष्टतः समरूप हैं। इसलिए not इस प्रकार
+n
+z=
+PR SP SL-PL NR-PL
+=
+=
+QR QT QM-TM QM-NR
+mz2 + nzj
+-4
+- 2
+m+n
+ठीक इसी प्रकार XZ - तल और YZ - तल पर लंब खींचने पर हमें प्राप्त होता है,
+my2 + ny1
+y =
+और x =
+mx2 + nx1
+m+n
+m+ n
+अत: बिंदु R जो बिंदु P (x, y, z ) और Q (x2, J2, 22 ) को मिलाने वाले रेखा खंड को mn के अनुपात में अंत: विभाजित करता है, के निर्देशांक हैं,
+mx2 + nx1 my1⁄2 +ny1 mz2 +nz1
+m+n
+m+n
+m+n
+यदि बिंदु R, रेखा खंड PQ को mn अनुपात में बाह्य विभाजित करता हो तो इसके निर्देशांक उपर्युक्त सूत्र में " को " से विस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार R के निर्देशांक होंगें,
+n
+mx2-nx1 mу2-ny1 mz2-nz1
+m-n
+m-n
+m-n
+स्थिति 1 मध्य-बिंदु के निर्देशांक यदि R, रेखाखंड PQ का मध्य-बिंदु है तो
+m
+रखने पर
+<nowiki>*</nowiki> + *2
+x=
+,) =
+z=
+और 21+22
+को मिलाने वाली रेखा खंड के मध्य
+-
+प - बिंदु के निर्देशांक हैं।
+ये P (x, y, z) और Q (X2 Y2Z2)
+स्थिति 2 रेखा खंड PQ को k : 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक
+m
+k = " रखने पर प्राप्त किए जा सकते हैं:
+n
+ew
+(kx2+Xj ky2+91 kz2+Z1
+l+k
++k
++k
+यह परिणाम प्रायः दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर व्यापक बिंदु संबंधी प्रश्नों के हल करने में प्रयुक्त होता है।
 [[Category:त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]