गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल: Difference between revisions
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<math>6x^2-x-2=0</math> | <math>6x^2-x-2=0</math> | ||
मध्य पद का गुणनखंड | हम मध्य पद <math>-x</math> का गुणनखंड <math>+3x-4x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(3x)\times(-4x) = -12x^2 = (-2)\times 6x^2</math> | ||
<math>6x^2+3x-4x-2=0</math> | <math>6x^2+3x-4x-2=0</math> | ||
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== उदाहरण 2 == | == उदाहरण 2 == | ||
द्विघात समीकरण <math> | द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल ज्ञात करें । | ||
हल | हल | ||
<math> | <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> | ||
मध्य पद गुणनखंड | हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math> का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math> | ||
<math> | <math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math> | ||
<math>x(x- | <math>\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | ||
<math>(x- | <math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | ||
प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर , | प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर , | ||
<math>(x- | <math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | ||
<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math> | |||
<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math> | |||
<math>x= | <math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math> | ||
<math> | <math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math> | ||
<math>x= | <math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math> | ||
अतः , द्विघात समीकरण | अतः , द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल <math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}</math> हैं । | ||
== उदाहरण 3 == | == उदाहरण 3 == | ||
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# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें । | # द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें । | ||
# द्विघात समीकरण <math>x^2-3x-10=0</math> के मूल ज्ञात करें । | |||
# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है । | # दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है । | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == |
Revision as of 16:26, 1 October 2023
द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । आईए इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं । एक वास्तविक संख्या को द्विघात समीकरण[1] , का मूल कहा जाता है , यदि होता है। हम यह भी कहते हैं कि द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण , को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद के शून्यक और द्विघात समीकरण का मूल समान होता हैं । किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।
द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि
द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ प्रमुख क्रमबद्ध चरण होते हैं , आईए हम उनके बारे में जानते हैं ;
- दिए गए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में परिवर्तित करें ।
- के गुणांक और अचर पद के गुणनफल का गुणनखंड करें ।
- मध्य पद के गुणांक को चरण में प्राप्त कारकों के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करें ।
- प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करें ।
इस प्रकार हम द्विघात समीकरणों के हल को प्राप्त कर सकते हैं ।
उदाहरण 1
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद का गुणनखंड रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण के मूल हैं ।
उदाहरण 2
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
हल
हम मध्य पद का गुणनखंड रूप में करेंगे , क्योंकि
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
अतः , द्विघात समीकरण के मूल हैं ।
उदाहरण 3
दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल है ।
हल
मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं है ।
प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,
प्रत्येक गुणनखंड को के बराबर करने पर ,
[ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]
अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल है ।
अभ्यास प्रश्न
- द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
- द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें ।
- दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग है ।
संदर्भ
- ↑ MATHEMATICS(NCERT) (REVISED ed.). pp. 42–44.