मूलों की प्रकृति: Difference between revisions

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ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में  निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।
ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में  निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।



Latest revision as of 13:21, 10 October 2023

ऐसा समीकरण , जिन्हें हम रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां वास्तविक संख्याएं हैं एवं , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति

द्विघात समीकरण के मूल [1]निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;

यदि , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल और मिलते हैं ।

यदि , हमें दो समान वास्तविक मूल और मिलते हैं ।

यदि , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।

अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम से निरूपित करते हैं ।

एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;

  1. दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि
  2. दो समान वास्तविक मूल ; यदि
  3. कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।

हल

दिए गए समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप से करने पर , हमें प्राप्त होता है ।

विविक्तकर का मान ज्ञात करने पर,

हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर अर्थात हैं ।

अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।

उदाहरण 2

का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

हल

दिए गए समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप से करने पर , हमें प्राप्त होता है ।

हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि  ; अर्थात

मे रखने पर ,

अतः , का मान होगा ।

अभ्यास प्रश्न

  1. द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
  2. का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

संदर्भ

  1. MATHEMATICS ( NCERT) (Revised ed.). pp. 44–47.