प्रतिस्थापन विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे आसान तरीकों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । आइए इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है ।

प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण

प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण निम्नलिखित है ;

चरण 1

दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए $y$ ) का मान दूसरे चर ( मान लीजिए $x$ ) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।

चरण 2

चरण $1$ में हमें जो $y$ का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण $x$ के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।

चरण 3

चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।

चरण 4

चरण $3$ में प्राप्त $x$ के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर $y$ का मान प्राप्त हो जाए ।

इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।

उदाहरण 1

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$7x-15y=2$

$x+2y=3$

हल

दी गई समीकरण ,

$7x-15y=2$ $....................(1)$

$x+2y=3$ $......................(2)$

समीकरण $(2)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$x+2y=3$

$x=3-2y$ $....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(1)$ में रखकर हल करने पर ,

$7x-15y=2$

$7(3-2y)-15y=2$ ( समीकरण $(3)$ से $x=3-2y$ )

$21-14y-15y=2$

$21-29y=2$

$21-2=29y$

$19=29y$

$y={\frac {19}{29}}$

$y$ के प्राप्त मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर ,

$x=3-2y$

$x=3-2\left({\frac {19}{29}}\right)$

$x=3-{\frac {38}{29}}$

$x={\frac {87-38}{29}}$

$x={\frac {49}{29}}$

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल $x={\frac {49}{29}}$ , $y={\frac {19}{29}}$ है ।

उदाहरण 2

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

$2x+3y=9$

$4x+6y=18$

हल

दी गई समीकरण ,

$2x+3y=9$ $....................(1)$

$4x+6y=18$ $......................(2)$

समीकरण $(1)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$2x+3y=9$

$2x=9-3y$

$x={\frac {9-3y}{2}}$$....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(2)$ में रखकर हल करने पर ,

$4x+6y=18$

$4\left({\frac {9-3y}{2}}\right)+6y=18$

$\left({\frac {36-12y}{2}}\right)+6y=18$

$\left({\frac {36-12y+12y}{2}}\right)=18$

$\left({\frac {36}{2}}\right)=18$

$18=18$ यह कथन $y$ के सभी मानों के लिए सत्य है

इसलिए , हमें $y$ का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम $x$ का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण $(1)$ और $(2)$ के अनंत रूप से कई हल होगे ।

उदाहरण 3

दो संख्याओं का अंतर $26$ है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर $26$ है ,

$x-y=26$ $............(1)$

प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,

$x=3y$

$x-3y=0$ $............(2)$

समीकरण $(2)$ से $x$ का मान $y$ के रूप में ज्ञात करने पर ,

$x-3y=0$

$x=3y$ $....................(3)$

समीकरण $(3)$ में प्राप्त के $x$ के मान को समीकरण $(1)$ में रखकर हल करने पर ,

$x-y=26$

$3y-y=26$ ( समीकरण $(3)$ से $x=3y$ )

$2y=26$

$y={\frac {26}{2}}$

$y=13$

$y$ के प्राप्त मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर ,

$x=3y$

$x=3\times 13$

$x=39$

अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं $13,39$ हैं ।

अभ्यास प्रश्न

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : $0.2x+0.3y=1.3$ , $0.4x+0.5y=2.3$