एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण

हमे ज्ञात है कि वृत्त के व्यास के अतिरिक्त किसी जीवा के अंतिम बिंदु उसे दो चापों में विभाजित करते हैं, जिन्हें दीर्घ चाप और लघु चाप कहते हैं। इस लेख में हम वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण से संबंधित प्रमेय और उसके पूर्ण स्पष्टीकरण के साथ उसके प्रमाण पर चर्चा करेंगे।

एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण – प्रमेय एवं प्रमाण

प्रमेय:

एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

प्रमाण:

केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर विचार करें। यहाँ वृत्त का चाप $PQ$ केंद्र $O$ पर कोण $\angle POQ$ तथा वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु $A$ पर कोण $\angle PAQ$ अंतरित करता है।

प्रमाण करने हेतु : $\angle POQ=2\angle PAQ$

इसे प्रमाणित करने के लिए, $AO$ को जोड़ें और इसे बिंदु $B$ तक विस्तारित करें

इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।

स्थिति 1:

चित्र -1

Consider a triangle $APO$

Here, $OA=OP$ (Radii)

Since, the angles opposite to the equal sides are equal,

$\angle OPA=\angle OAP....(1)$

Also, by using the exterior angle property (exterior angle is the sum of interior opposite angles),

We can write,

$\angle BOP=\angle OAP+\angle OPA$

By using $(1)$

$\angle BOP=\angle OAP+\angle OAP$

$\angle BOP=2\angle OAP....(2)$

Similarly, consider another triangle $AQO$,

$OA=OQ$ (Radii)

As the angles opposite to the equal sides are equal,

$\angle OQA=\angle OAQ....(3)$

Similarly, by using the exterior angle property, we get$\angle BOQ=\angle OAQ+\angle OQA$

$\angle BOQ=\angle OAQ+\angle OAQ$ (using $(3)$)

$\angle BOQ=2\angle OAQ....(4)$

Adding $(2)$and $(4)$ we get,

$\angle BOP+\angle BOQ=2\angle OAP+2\angle OAQ$

$\angle POQ=2(\angle OAP+\angle OAQ)$

$\angle POQ=2\angle PAQ$

Hence, case (1) is proved.

Case 2:

Fig. 2

To prove $\angle POQ=2\angle PAQ$ for this case, we can follow the steps as same as for case $(1)$. But while adding $(2)$ and$(4)$, we have to follow the below steps.

$\angle BOP+\angle BOQ=2\angle OAP+2\angle OAQ$

Reflex angle $\angle POQ=2(\angle OAP+\angle OAQ)$ (Since, $PQ$ is a Major arc)

Reflex angle $\angle POQ=2\angle PAQ$.

Hence, proved.