प्राकृतिक संख्याएँ: Difference between revisions

Revision as of 17:46, 15 October 2024

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग हम गिनने के लिए करते हैं जो वास्तविक संख्याओं का भाग होती हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं जो 1 से प्रारंभ होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं।

उदाहरण: $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....$

शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है. किसी भी वस्तु की गिनती के लिए हम शून्य से नहीं बल्कि 1 से गिनती प्रारंभ करते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय

समुच्चय अवयवों (इस संदर्भ में संख्याएँ) का एक संग्रह है। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N द्वारा निरूपित किया जाता है।

$N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....\infty \}$

विषम प्राकृतिक संख्याएँ

विषम प्राकृतिक संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं होती हैं

उदाहरण: $1,3,5,7,9.....$

जब 3 को 2 से विभाजित किया जाता है

${\frac {3}{2}}=1\quad Remainder=1$

सम प्राकृतिक संख्याएँ

सम प्राकृतिक संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 2 से पूर्णतः विभाज्य होती हैं

उदाहरण: $2,4,6,8,10.....$

जब 4 को 2 से विभाजित किया जाता है

${\frac {4}{2}}=2\quad Remainder=0$

प्राकृतिक संख्याओं के गुण

प्राकृतिक संख्याओं पर चार संक्रियाएँ, जोड़, घटाव, गुणा और भाग, प्राकृतिक संख्याओं के चार मुख्य गुणों की ओर ले जाती हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

समापन गुणधर्म
साहचर्य गुणधर्म
क्रमचयी गुणधर्म
वितरणात्मक गुणधर्म

समापन गुणधर्म

दो प्राकृतिक संख्याओं का योग और गुणनफल सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता है।

योग का समापन गुणधर्म: $a+b=c$ ⇒ $1+2=3$ , $7+8=15$ . इससे पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का योग सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है।

गुणन का समापन गुणधर्म: $a\times b=c$ ⇒ $2\times 3=6$ , $7\times 8=56$ . इससे पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है।

साहचर्य गुणधर्म

किसी भी तीन प्राकृतिक संख्याओं का योग या गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है, लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता।

योग का साहचर्य गुणधर्म: $a+(b+c)=(a+b)+c$ ⇒ $2+(3+1)=(2+3)+1=6$ .

गुणन का साहचर्य गुणधर्म: $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ⇒ $2\times (3\times 1)=(2\times 3)\times 1=6$ .

क्रमचयी गुणधर्म

दो प्राकृतिक संख्याओं का योग या गुणनफल संख्याओं के क्रम को बदलने के बाद भी वही रहता है। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता है।

योग का क्रमचयी गुणधर्म: $a+b=b+a$ ⇒ $8+9=9+8=17$ .
योग का क्रमचयी गुणधर्म: $a\times b=b\times a$ ⇒ $8\times 9=9\times 8=72$ .

वितरणात्मक गुणधर्म

वितरणात्मक गुणधर्म को जोड़ और घटाव पर गुणन के वितरणात्मक नियम के रूप में जाना जाता है। यह बताता है कि एक अभिव्यक्ति जो के रूप में दी गई है $a(b+c)=ab+ac$ .

यह वितरणात्मक गुणधर्म , जो घटाने पर भी लागू होता है, इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $a(b-c)=ab-ac$ . इसका अर्थ है संकार्य ' $a$ अन्य दो संकार्यों के बीच वितरित किया जाता है।

योग पर गुणन का वितरणात्मक गुण है $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$ .
गुणन पर घटाव का वितरणात्मक गुण है $a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$

@@ Line 37: / Line 37: @@
 * क्रमचयी गुणधर्म
 * वितरणात्मक गुणधर्म
-'''Closure Property'''
+'''समापन गुणधर्म'''
-The sum and product of two natural numbers is always a natural number. This property applies to addition and multiplication but is not applicable to subtraction and division.
+दो प्राकृतिक संख्याओं का योग और गुणनफल सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता है।
-* Closure Property of Addition: <math>a+b=c</math> ⇒ <math>1+2=3</math>, <math>7+8=15</math>. This shows that the sum of natural numbers is always a natural number.
+* योग का समापन गुणधर्म: <math>a+b=c</math> ⇒ <math>1+2=3</math>, <math>7+8=15</math>. इससे पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का योग सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है।
-* Closure Property of Multiplication: <math>a \times b=c</math> ⇒ <math>2 \times 3 =6</math>, <math>7 \times 8 =56</math>. This shows that the product of natural numbers is always a natural number.
+* गुणन का समापन गुणधर्म:<math>a \times b=c</math> ⇒ <math>2 \times 3 =6</math>, <math>7 \times 8 =56</math>. इससे पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल सदैव एक प्राकृतिक संख्या होती है।
-'''Associative Property'''
+'''साहचर्य गुणधर्म'''
-The sum or product of any three natural numbers remains the same even if the grouping of numbers is changed. This property applies to addition and multiplication but is not applicable to subtraction and division.
+किसी भी तीन प्राकृतिक संख्याओं का योग या गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है, लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता।
-* Associative Property of Addition: <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> ⇒ <math>2+(3+1)=(2+3)+1=6</math>.
+* योग का साहचर्य गुणधर्म: <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> ⇒ <math>2+(3+1)=(2+3)+1=6</math>.
-* Associative Property of Multiplication: <math>a \times(b \times c)=(a \times b)\times c</math> ⇒ <math>2 \times(3 \times 1)=(2 \times 3)\times 1=6</math>.
+* गुणन का साहचर्य गुणधर्म: <math>a \times(b \times c)=(a \times b)\times c</math> ⇒ <math>2 \times(3 \times 1)=(2 \times 3)\times 1=6</math>.
-'''Commutative Property'''
+'''क्रमचयी गुणधर्म'''
-The sum or product of two natural numbers remains the same even after interchanging the order of the numbers. This property applies to addition and multiplication but is not applicable to subtraction and division.
+दो प्राकृतिक संख्याओं का योग या गुणनफल संख्याओं के क्रम को बदलने के बाद भी वही रहता है। यह गुण जोड़ और गुणा पर लागू होता है लेकिन घटाव और भाग पर लागू नहीं होता है।
-* Commutative Property of Addition: <math>a+b=b+a</math> ⇒ <math>8+9=9+8=17</math>.
+* योग का क्रमचयी गुणधर्म:  <math>a+b=b+a</math> ⇒ <math>8+9=9+8=17</math>.
-* Commutative Property of Multiplication: <math>a \times b=b \times a</math> ⇒ <math>8 \times 9=9 \times 8=72</math>.
+* योग का क्रमचयी गुणधर्म: <math>a \times b=b \times a</math> ⇒ <math>8 \times 9=9 \times 8=72</math>.
-'''Distributive Property'''
+'''वितरणात्मक गुणधर्म'''
-The distributive property is known as the distributive law of multiplication over addition and subtraction. It states that an expression that is given in form of <math>a(b+c)=ab+ac</math>.
+वितरणात्मक गुणधर्म को जोड़ और घटाव पर गुणन के वितरणात्मक नियम के रूप में जाना जाता है। यह बताता है कि एक अभिव्यक्ति जो के रूप में दी गई है <math>a(b+c)=ab+ac</math>.
-This distributive law which is also applicable to subtraction is expressed as, <math>a(b-c)=ab-ac</math>. This means operand '<math>a</math>is distributed between the other two operands.
+यह वितरणात्मक गुणधर्म , जो घटाने पर भी लागू होता है, इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: <math>a(b-c)=ab-ac</math>. इसका अर्थ है संकार्य '<math>a</math> अन्य दो संकार्यों  के बीच वितरित किया जाता है।
-* The distributive property of multiplication over addition is <math>a \times (b+c)=(a \times b)+(a \times c)</math>.
+* योग पर गुणन का वितरणात्मक गुण है <math>a \times (b+c)=(a \times b)+(a \times c)</math>.
-* The distributive property of multiplication over subtraction is <math>a \times (b-c)=(a \times b)-(a \times c)</math>
+* गुणन पर घटाव का वितरणात्मक गुण है <math>a \times (b-c)=(a \times b)-(a \times c)</math>