सांतत्य: Difference between revisions
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आलेख <math>y = f(x)</math> के लिए सांतत्य को सरलता से संतत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि हम किसी बिंदु पर पेंसिल उठाए बिना आसानी से आलेख खींचने में सक्षम हैं। मान लें कि f(x) [[वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ|वास्तविक संख्याओं]] के उपसमुच्चय पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है और c फलन f(x) के डोमेन में उपस्थित एक बिंदु है। तब हम कहते हैं कि फलन f(x) बिंदु x = c पर संतत है यदि हमारे पास Limx→cf(x)=f(c) है। | |||
किसी | किसी फलन की सांतत्य को आलेखीय रूप से या बीजगणितीय रूप से समझाया जा सकता है। आलेख में बिंदु पर फलन y = f(x) की सांतत्य एक आलेख रेखा है जो बिना किसी ब्रेक के बिंदु से लगातार गुजरती है। फलन y = f(x) की सांतत्य को बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है यदि फलन का मान बाएं हाथ की सीमा से फलन के मान के बराबर है। Limx→1−1f(x)=Limx→1+1f(x)। यानी x = 0.99, 0.998 के मान, जो 1 से थोड़े कम हैं, का f(x) फलन मान x = 1.001, 1.0001 के समान है, जो 1 से थोड़े अधिक हैं। | ||
== | == सांतत्य और भिन्नता पर प्रमेय == | ||
सांतत्य और भिन्नता पर निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय, सांतत्य और भिन्नता की अवधारणाओं की गहन समझ के लिए सही पृष्ठभूमि निर्धारित करते हैं। | |||
प्रमेय 1: यदि दो | प्रमेय 1: यदि दो फलन f(x) और g(x) एक वास्तविक मान फलन पर संतत हैं और एक बिंदु x = c पर संतत हैं, तो हमारे पास है: | ||
f(x) + g(x) बिंदु c = c पर | f(x) + g(x) बिंदु c = c पर संतत है | ||
f(x) - g(x) एक बिंदु x = c पर | f(x) - g(x) एक बिंदु x = c पर संतत है | ||
g(x).g(x) बिंदु x = c पर | g(x).g(x) बिंदु x = c पर संतत है | ||
f(x)/g(x) एक बिंदु x = c पर | f(x)/g(x) एक बिंदु x = c पर संतत है, बशर्ते g(c) ≠ 0 | ||
प्रमेय 2: दो वास्तविक मान | प्रमेय 2: दो वास्तविक मान फलन f(x) और g(x) के लिए जैसे कि समग्र फलन fog(x) x = c पर परिभाषित किया गया है। यदि g(x) x = c पर सतत है और फलन f(x) g(c) पर सतत है, तो fog(x) x = c पर सतत है। | ||
प्रमेय 3: यदि दिया गया | प्रमेय 3: यदि दिया गया फलन f(x) किसी बिंदु x = c पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसे संक्षेप में इस प्रकार कहा जा सकता है कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है। | ||
प्रमेय 4: श्रृंखला नियम: एक वास्तविक मान वाले | प्रमेय 4: श्रृंखला नियम: एक वास्तविक मान वाले फलन f(x) के लिए, जो दो फलन u और v का संयोजन है, अर्थात, f = vou। साथ ही मान लें कि t = u(x) है और यदि dt/dx और dv/dt दोनों उपस्थित हैं, तो हमारे पास df/dx = dv/dt.dt.dx है। | ||
प्रमेय 5: x के सापेक्ष ex का व्युत्पन्न ex है। d/dx.ex = 1. और x के सापेक्ष logx का व्युत्पन्न 1/d है। d/dx. logx = 1/x. | प्रमेय 5: x के सापेक्ष ex का व्युत्पन्न ex है। d/dx.ex = 1. और x के सापेक्ष logx का व्युत्पन्न 1/d है। d/dx. logx = 1/x. | ||
प्रमेय 6: (रोले का प्रमेय)। यदि कोई | प्रमेय 6: (रोले का प्रमेय)। यदि कोई फलन f(x) अंतराल [a, b] में संतत है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, जैसे कि f(a) = f(b), और a, b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब अंतराल [a, b] में एक बिंदु c उपस्थित होता है जैसे कि f'(c) = 0. | ||
प्रमेय 7: (माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई | प्रमेय 7: (माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई फलन f(x) अंतराल [a, b] में संतत है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, तो अंतराल [a, b] में एक बिंदु c उपस्थित होता है जैसे कि | ||
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Revision as of 08:11, 30 November 2024
किसी फलन का सांतत्य
आलेख के लिए सांतत्य को सरलता से संतत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि हम किसी बिंदु पर पेंसिल उठाए बिना आसानी से आलेख खींचने में सक्षम हैं। मान लें कि f(x) वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है और c फलन f(x) के डोमेन में उपस्थित एक बिंदु है। तब हम कहते हैं कि फलन f(x) बिंदु x = c पर संतत है यदि हमारे पास Limx→cf(x)=f(c) है।
किसी फलन की सांतत्य को आलेखीय रूप से या बीजगणितीय रूप से समझाया जा सकता है। आलेख में बिंदु पर फलन y = f(x) की सांतत्य एक आलेख रेखा है जो बिना किसी ब्रेक के बिंदु से लगातार गुजरती है। फलन y = f(x) की सांतत्य को बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है यदि फलन का मान बाएं हाथ की सीमा से फलन के मान के बराबर है। Limx→1−1f(x)=Limx→1+1f(x)। यानी x = 0.99, 0.998 के मान, जो 1 से थोड़े कम हैं, का f(x) फलन मान x = 1.001, 1.0001 के समान है, जो 1 से थोड़े अधिक हैं।
सांतत्य और भिन्नता पर प्रमेय
सांतत्य और भिन्नता पर निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय, सांतत्य और भिन्नता की अवधारणाओं की गहन समझ के लिए सही पृष्ठभूमि निर्धारित करते हैं।
प्रमेय 1: यदि दो फलन f(x) और g(x) एक वास्तविक मान फलन पर संतत हैं और एक बिंदु x = c पर संतत हैं, तो हमारे पास है:
f(x) + g(x) बिंदु c = c पर संतत है
f(x) - g(x) एक बिंदु x = c पर संतत है
g(x).g(x) बिंदु x = c पर संतत है
f(x)/g(x) एक बिंदु x = c पर संतत है, बशर्ते g(c) ≠ 0
प्रमेय 2: दो वास्तविक मान फलन f(x) और g(x) के लिए जैसे कि समग्र फलन fog(x) x = c पर परिभाषित किया गया है। यदि g(x) x = c पर सतत है और फलन f(x) g(c) पर सतत है, तो fog(x) x = c पर सतत है।
प्रमेय 3: यदि दिया गया फलन f(x) किसी बिंदु x = c पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसे संक्षेप में इस प्रकार कहा जा सकता है कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है।
प्रमेय 4: श्रृंखला नियम: एक वास्तविक मान वाले फलन f(x) के लिए, जो दो फलन u और v का संयोजन है, अर्थात, f = vou। साथ ही मान लें कि t = u(x) है और यदि dt/dx और dv/dt दोनों उपस्थित हैं, तो हमारे पास df/dx = dv/dt.dt.dx है।
प्रमेय 5: x के सापेक्ष ex का व्युत्पन्न ex है। d/dx.ex = 1. और x के सापेक्ष logx का व्युत्पन्न 1/d है। d/dx. logx = 1/x.
प्रमेय 6: (रोले का प्रमेय)। यदि कोई फलन f(x) अंतराल [a, b] में संतत है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, जैसे कि f(a) = f(b), और a, b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब अंतराल [a, b] में एक बिंदु c उपस्थित होता है जैसे कि f'(c) = 0.
प्रमेय 7: (माध्य मान प्रमेय)। यदि कोई फलन f(x) अंतराल [a, b] में संतत है और अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, तो अंतराल [a, b] में एक बिंदु c उपस्थित होता है जैसे कि
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
