वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक-नियम

घातांक के नियम गुणा और भाग की संक्रियाओं को सरल बनाते हैं और समस्याओं को आसानी से हल करने में मदद करते हैं। इस लेख में, हम घातांक के छह महत्वपूर्ण नियमों के बारे में जानेंगे।

घातांक के नियम

मान लीजिए $a>0$ एक वास्तविक संख्या है और $p$ और $q$ परिमेय संख्याएँ हों। तो हमारे पास हैं

1. गुणन नियम : $a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}$
2. घात नियम के घात : $(a^{p})^{q}=a^{pq}$
3. गुणन नियम के घात : $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}$
4. भागफल नियम की घात : $\left[{\frac {a}{b}}\right]^{p}={\frac {a^{p}}{b^{p}}}$
5. भागफल नियम : ${\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q}$
6. ऋणात्मक घातांक नियम: $a^{-p}={\frac {1}{a^{p}}}$
7. भिन्नात्मक घातांक नियम: $a^{\frac {1}{p}}={\sqrt[{p}]{a}}$
8. शून्य घातांक नियम: $a^{0}=1$

Laws of Exponents

Let $a>0$ be a real number and $p$ & $q$ be rational numbers. Then we have

1. Product Rule: $a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}$
2. Power of a power Rule: $(a^{p})^{q}=a^{pq}$
3. Power of a product Rule:$(ab)^{p}=a^{p}b^{p}$
4. Power of a Quotient Rule: $\left[{\frac {a}{b}}\right]^{p}={\frac {a^{p}}{b^{p}}}$
5. Quotient Rule: ${\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q}$
6. Negative Exponent Rule: $a^{-p}={\frac {1}{a^{p}}}$
7. Fractional Exponent Rule: $a^{\frac {1}{p}}={\sqrt[{p}]{a}}$
8. Zero Exponent Rule: $a^{0}=1$

उदाहरण

1. $5^{2}\times 5^{5}=5^{2+5}=5^{7}$
2. $(5^{2})^{3}=5^{2\times 3}=5^{6}$
3. ${\frac {5^{6}}{5^{4}}}=5^{6-4}=5^{2}=25$
4. $5^{-2}={\frac {1}{5^{2}}}={\frac {1}{25}}$
5. $5^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{5}}$
6. $5^{0}=1$

Examples

1. Product Rule: $5^{2}\times 5^{5}=5^{2+5}=5^{7}$
2. Power of a power Rule: $(5^{2})^{3}=5^{2\times 3}=5^{6}$
3. Power of a Quotient Rule: ${\frac {5^{6}}{5^{4}}}=5^{6-4}=5^{2}=25$
4. Negative Exponent Rule: $5^{-2}={\frac {1}{5^{2}}}={\frac {1}{25}}$
5. Fractional Exponent Rule: $5^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{5}}$
6. Zero Exponent Rule: $5^{0}=1$