मूलों की प्रकृति

ऐसा समीकरण , जिन्हें हम $ax^{2}+bx+c=0$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं एवं $a\neq 0$ , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में $x$ का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति

द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

यदि ${b^{2}-4ac}>0$ , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल $-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ और $-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ मिलते हैं ।

यदि ${b^{2}-4ac}=0$ , हमें दो समान वास्तविक मूल $-{\frac {b}{2a}}$ और $-{\frac {b}{2a}}$ मिलते हैं ।

यदि ${b^{2}-4ac}<0$ , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।

अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक ${b^{2}-4ac}$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम $D=b^{2}-4ac$ से निरूपित करते हैं ।

एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;

1. दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि ${b^{2}-4ac}>0$
2. दो समान वास्तविक मूल ; यदि ${b^{2}-4ac}=0$
3. कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि ${b^{2}-4ac}<0$

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।

हल

दिए गए समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर , हमें $a=2,b=-4,c=-3$ प्राप्त होता है ।

विविक्तकर $D=b^{2}-4ac$ का मान ज्ञात करने पर,

$D=(-4)^{2}-4\times 2\times (-3)$

$D=16-(-24)$

$D=16+24$

$D=40$

हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर $D=40$ अर्थात $D>0$ हैं ।

अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण $2x^{2}-4x-3=0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।

उदाहरण 2

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण $2x^{2}+kx+3=0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

हल

दिए गए समीकरण $2x^{2}+kx+3=0$ की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर , हमें $a=2,b=k,c=3$ प्राप्त होता है ।

हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि ${b^{2}-4ac}=0$ ; अर्थात $D=0$

${b^{2}-4ac}=0$ मे रखने पर ,

$(k)^{2}-4\times 2\times 3=0$

$k^{2}-24=0$

$k^{2}=24$

$k=\pm {\sqrt {24}}$

$k=\pm 2{\sqrt {6}}$

अतः , $k$ का मान $\pm 2{\sqrt {6}}$ होगा ।

अभ्यास प्रश्न

1. द्विघात समीकरण $3x^{2}-4{\sqrt {3}}x+4=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
2. $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण $kx(x-1)+5=0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं ।